从贝塞尔曲线到概率模型

前情提要

在之前的视频中，我们讲到了动画是怎样构成的，其中最重要的一个函数就是 interpolate，能够对两个状态进行补间运算，运算式是这样写的

def interpolate(start, end, alpha):
    return (1 - alpha) * start + alpha * end

穿插一阶贝塞尔动画

其实在此处 interpolate 的含义变成了相对狭义的补间，即线性插值. 但对三个值，甚至更多的值进行插值，也能够算作是补间. 因此，在这里我们采用 unity 中的一个函数 lerp，即线性插值函数，用于相互区分.

## 这里的算式和上面其实是一样的，而且我还是更喜欢上面的一种写法
def lerp(p0, p1, t):
    return p0 + (p1 - p0) * t

而对于 3 个值 $\displaystyle{ P _{ 0 } , P _{ 1 } , P _{ 2 } }$ 的补间，我们应该如何去思考呢？

首先，我们应该很容易想到，先对某一部分，即 $\displaystyle{ P _{ 0 } }$ 和 $\displaystyle{ P _{ 1 } }$，$\displaystyle{ P _{ 1 } }$ 和 $\displaystyle{ P _{ 2 } }$ 分别进行线性插值，并分别用 $\displaystyle{ A , B }$ 来标记它们，于是我们有

$$\begin{aligned} A&=\text{lerp}(P_0,P_1,t)\\ B&=\text{lerp}(P_1,P_2,t) \end{aligned}$$

穿插两个一阶贝塞尔动画
然后再加入它们的补间动画，即二阶贝塞尔

接着，我们再对 $\displaystyle{ A }$ 和 $\displaystyle{ B }$ 进行线性插值，设最终结果为 $\displaystyle{ R }$，于是就有

$$\begin{aligned} R(t)&=(1-t)\cdot A + t\cdot B\\ &=(1-t)[(1-t)P_0+tP_1]+t[(1-t)P_1+tP_2]\\ &=P_0(1-t)^2+2P_1(1-t)t+P_2t^2 \end{aligned}$$

用代码来书写可以写成这样

def quadratic(p0, p1, p2, t):
    A = lerp(p0, p1, t)
    B = lerp(p1, p2, t)
    return lerp(A, B, t)

而这其实就是贝塞尔曲线的方程了，这里的方程是二阶的，如果需要用三阶可以继续写下去.

穿插由二阶构造三阶的动画

def cubic(p0, p1, p2, p3, t):
    A = quadratic(p0, p1, p2, t)
    B = quadratic(p1, p2, p3, t)
    return lerp(A, B, t)

经过归纳，我们可以得到 $\displaystyle{ n }$ 阶贝塞尔曲线的一般方程

$$B^n(t)=\sum_{i=0}^{n}P_i{n\choose i}(1-t)^{n-i}t^i, {n\choose i}={n!\over i!(n-i)!}$$

从贝塞尔曲线到概率模型

我知道这一部分很扯，但不知道为什么我就是能想到这一步

$\displaystyle{ n }$ 阶贝塞尔曲线的方程过于复杂，我们先看一个三阶贝塞尔

$$\begin{aligned} B^3(t)=&{3\choose 0}P_0(1-t)^3+{3\choose 1}P_1(1-t)^2t+{3\choose 2}P_2(1-t)t^2+{3\choose 3}P_3t^3\\ =&P_0(1-t)^3+3P_1(1-t)^2t+3P_2(1-t)t^2+P_3t^3\\ =&P_0(-t^3+3t^2-3t+1)\\ +&P_1(3t^3-6t^2+3t)\\ +&P_2(3t^2-3t^3)\\ +&P_3t^3 \end{aligned}$$

可以发现，在最后一步把立方、平方等项拆开的时候，这些式子的和很像是一个加权平均数，或者说是一个数学期望. 而更巧合的事情发生了，我们分别设 $\displaystyle{ P _{ i } }$ 的系数是 $\displaystyle{ a _{ i } \left( i = 0 , 1 , 2 , 3 \right) }$，可以发现

$$\displaystyle{ a _{ 0 } + a _{ 1 } + a _{ 2 } + a _{ 3 } = \left( - t ^{ 3 } + 3 t ^{ 2 } - 3 t + 1 \right) + \left( 3 t ^{ 3 } - 6 t ^{ 2 } + 3 t \right) + \left( 3 t ^{ 2 } - 3 t ^{ 3 } \right) + t ^{ 3 } = 1 }$$

也就是说，$\displaystyle{ a _{ i } \left( i = 0 , 1 , 2 , 3 \right) }$ 可以看作是一个随机事件中每个事件的概率，而 $\displaystyle{ P _{ i } \left( i = 0 , 1 , 2 , 3 \right) }$ 可以看作是这些随机事件，$\displaystyle{ B ^{ 3 } \left( t \right) }$ 就意味着这些事件的数学期望.

这么说着抽象的事件似乎会让人摸不着头脑，我们不妨把 $\displaystyle{ P _{ i } }$ 看作是平面或空间内的点（为了方便我们在这里先只看平面），$\displaystyle{ B ^{ 3 } \left( t \right) }$ 意味着在 $\displaystyle{ P _{ i } \left( i = 0 , 1 , 2 , 3 \right) }$ 所在平面的某一个区域随机取点，而得到的数学期望. 这个期望似乎会随着 $\displaystyle{ t }$ 的改变而改变.（这段好像有点怪，没有扯到一起去）

我们尝试写出这个分布列（随机变量 $\displaystyle{ X }$ 可以取 $\displaystyle{ P _{ 0 } , P _{ 1 } , P _{ 2 } , P _{ 3 } }$ 中的点）

$\displaystyle{ X }$	$\displaystyle{ P _{ 0 } }$	$\displaystyle{ P _{ 1 } }$	$\displaystyle{ P _{ 2 } }$	$\displaystyle{ P _{ 3 } }$
$\displaystyle{ p }$	$\displaystyle{ \left( 1 - t \right) ^{ 3 } }$	$\displaystyle{ 3 \left( 1 - t \right) ^{ 2 } t }$	$\displaystyle{ 3 \left( 1 - t \right) t ^{ 2 } }$	$\displaystyle{ t ^{ 3 } }$

对于 $\displaystyle{ t }$ 取 $\displaystyle{ \left[ 0 , 1 \right] }$ 内的不同值，这个分布列会有不同的结果，而将这个分布列画到坐标轴上，似乎暂时也看不出特别明显的规律.

但我们反过来思考一下，如果是一个随机变量 $\displaystyle{ Y ^{\prime} }$，满足一个两点分布，即 $Y'\sim \left(\begin{array}{l} 0 & 1 \\ q & p\end{array} \right)$，对这个实验独立地进行 $\displaystyle{ n }$ 次，那么这个实验就变成了贝努利实验，即存在随机变量 $Y\sim B(n,p)$. 对于实验结果，我们有

$$P(Y=m)={n\choose m}(1-t)^{n-m}t^m\qquad(0\leqslant m \leqslant n,m\in\mathbb{N})$$

这是一个二项分布，而概率似乎与贝塞尔曲线方程的某些系数一模一样. 同时，这两者也有一些共通性. 在贝塞尔曲线中，$\displaystyle{ t }$ 表示所占的某一段直线或曲线的百分比，取值范围是 $\displaystyle{ \left[ 0 , 1 \right] }$. 而一个事件发生的概率，同样是 $\displaystyle{ \left[ 0 , 1 \right] }$，两者是否有一些巧合呢？或许我们需要增大一下二项分布的样本容量，与此同时增大贝塞尔曲线的阶数，才能看的更加明显.

建立二项分布模型 增大样本容量

某人射击打靶，射中的概率为 $\displaystyle{ p }$，每次射击不会相互影响，那么他射 $\displaystyle{ n }$ 枪，求射中目标 $\displaystyle{ m }$ 次的概率.
在这个题目中，每次射击都是一次独立的贝努利实验，这样的实验做 $\displaystyle{ n }$ 次，击中目标的次数设为随机变量 $\displaystyle{ X }$，那么 $\displaystyle{ X }$ 服从一个二项分布，即 $X\sim B(n,p)$.

现在还没有代入具体数字，我们似乎没法给出一些明确的答案. 那么我们不妨就让 $\displaystyle{ n = 20 , p = 0.6 }$. 在这里我们就不进行模拟了，我们直接用公式算出每一种可取的 $\displaystyle{ m }$ 的概率.

$$\begin{aligned} P(X=m)&={n\choose m}(1-p)^{n-m}p^m\\ &={20\choose m}\left({2\over 5}\right)^{20-m}\left({3\over 5}\right)^m \end{aligned}$$

同时，我们用图像画出每个 $\displaystyle{ m }$ 所对应的图像. 在这里，每个方柱的面积（而不是高度）代表 $\displaystyle{ X }$ 取到 $\displaystyle{ m }$ 时的概率.

可以看到，整个图像呈现出中间高，两边低的样子.

（概率论经典题）有时我们可能会遇到这样的问题，假设击中次数为 $\displaystyle{ m }$，求 $P(m_1\leqslant m < m_2)$. 这个问题看上去也并不困难，由于射中次数 $\displaystyle{ m }$ 取不同的值时不会相互干扰，所以有

$$P(m_1\leqslant m<m_2)=\displaystyle\sum_{m=m_1}^{m_2-1}P(X=m)$$

也就是只需要将图中在范围内的矩形面积相加就可以了. 同样地，所有这些事件的概率之和为 $\displaystyle{ 1 }$，即

$$P(0\leqslant m\leqslant n)=\displaystyle\sum_{m=0}^{n}P(X=m)=1$$

在这里，矩形数量并不多，如果所需要计算的量比较少，那么就可以直接手算计算机运算相加就可以了.

但如果样本很多，范围也很大呢？这样用手算一个一个相加肯定是相当耗费精力的.

进一步增大样本容量

现在，我们将试验次数增加. 之前提到了用面积来表示 $\displaystyle{ X = m }$ 的概率；但如果用高度来表示，那么这些方柱会越来越矮，最终缩到横轴为止. （3b1b 讲过这件事情）

这时我们发现，我们需要不断地拉长横轴，不妨给横轴除以 $\displaystyle{ n }$，此时横轴表示的，是射中次数与实验次数的商. 纵轴表示的，是 $\displaystyle{ n }$ 乘 $\displaystyle{ X = m }$ 的概率，即 $\displaystyle{ n P \left( X = m \right) }$. 从概念上来看，我们所要求的射中 $\displaystyle{ m }$ 枪的概率，变成了射中概率为 ${m\over n}$ 的概率，即“概率的概率”.

现在，横轴所表示的变量取值范围变成了 $\displaystyle{ \left[ 0 , 1 \right] }$，它所表达的含义似乎很像是概率 $\displaystyle{ p }$. 但在我们平常的概念中，概率 $\displaystyle{ p }$ 可用取到的值应该是 $\displaystyle{ \left[ 0 , 1 \right] }$ 内连续的数. 在上面的例题中，实验次数和击中次数是离散的，只能说，当试验次数充分大时，这种离散的情况可以近似的看作是连续的. 也就是说，当二项分布的样本容量足够大时，它的概率分布可以近似地看作是一个连续型的分布.

原本打算在这里插入如何从二项分布推导正态分布，但是难度还是有一点的。然而，写到这里发现讨论的方向似乎错了，原因如下

到这里为止，这个“贝塞尔曲线的平滑”与“近似连续型的分布”本质上还有很大的区别，前者指的是通过一个 $\displaystyle{ B ^{ n } \left( t \right) }$ 函数，使得曲线变得平滑，这里如果想要达到平滑，不是依靠对 $\displaystyle{ n }$ 的取样而平滑的，而是对 $\displaystyle{ t }$ 进行精细化取样才达到平滑的；而后者的平滑，是通过对 $\displaystyle{ n }$ 取极限来达到平滑的效果。所以讨论到这里，方向好像偏掉了