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概率论

概率 概率公式

条件概率

事件 A\displaystyle{ A } 发生的条件下 B\displaystyle{ B } 发生的条件概率

P(B∣A)=P(AB)P(A)P(B \mid A)={P(AB) \over P(A)}

事件的独立性

事件 A,B\displaystyle{ A , B } 满足 P(AB)=P(A)P(B)\displaystyle{ P \left( A B \right) = P \left( A \right) P \left( B \right) }，则两事件相互独立

A,B,C\displaystyle{ A , B , C } 三事件相互独立等价于

P(AB)=P(A)P(B)P(AC)=P(A)P(C)P(BC)=P(B)P(C)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)\begin{aligned} P(AB) &= P(A)P(B) \\ P(AC) &= P(A)P(C) \\ P(BC) &= P(B)P(C) \\ P(ABC) &= P(A)P(B)P(C) \end{aligned}

满足前三个称为两两独立

n\displaystyle{ n } 个事件相互独立需要 Cn2+Cn3+⋯+Cnn=2n−n−1C_{n}^2+C_{n}^{3}+\cdots+C_{n}^{n}=2^{n}-n-1 个等式成立

性质
  • A\displaystyle{ A } 和 B\displaystyle{ B } 独立 ⇔\Leftrightarrow A\displaystyle{ A } 与 B‾\overline{B} 独立 或 A‾\overline{A} 与 B\displaystyle{ B } 独立 或 A‾\overline{A} 与 B‾\overline{B} 独立
  • 0<P(A)<1\displaystyle{ 0 < P \left( A \right) < 1 }，A\displaystyle{ A } 和 B\displaystyle{ B } 独立等价于 P(B∣A)=P(B)P(B \mid A)=P(B) 或 P(B∣A)=P(B∣A‾)P(B \mid A)=P(B \mid \overline{A})
  • n\displaystyle{ n } 个事件相互独立，则必两两独立；反之不成立、
  • n\displaystyle{ n } 个事件相互独立时，它们的部分事件也是相互独立的

五大概率公式

加法公式 P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)
减法公式 P(A−B)=P(A)−P(AB)\displaystyle{ P \left( A - B \right) = P \left( A \right) - P \left( A B \right) }
乘法公式

  • 当 P(A)>0\displaystyle{ P \left( A \right) > 0 }，P(AB)=P(A)P(B∣A)P(AB)=P(A)P(B \mid A)

  • 当 P(A1A2⋯An)>0P(A_{1}A_{2}\cdots A_{n})>0 时，

    P(A1A2⋯An)=P(A1)P(A1∣A2)⋯P(An∣A1A2⋯An−1)P(A_{1}A_{2}\cdots A_{n})=P(A_{1})P(A_{1} \mid A_{2})\cdots P(A_{n} \mid A_{1}A_{2}\cdots A_{n-1})

全概率公式

设 B1,B2,⋯ ,BnB_{1},B_{2},\cdots,B_{n} 满足 ⋃i=1nBi=Ω,BiBj≠∅(i≠j)\displaystyle\bigcup_{i=1}^{n}B_{i}=\Omega,B_{i}B_{j} \ne \varnothing (i \ne j) 且 P(Bk)>0,k=1,2,⋯ ,nP(B_{k}) > 0, k=1,2,\cdots,n，则对任意事件 A\displaystyle{ A } 有

P(A)=∑i=1nP(Bi)P(A∣Bi)P(A) = \sum\limits_{i=1}^{n}P(B_{i})P(A \mid B_{i})

称满足 ⋃i=1nBi=Ω,BiBj≠∅(i≠j)\displaystyle\bigcup_{i=1}^{n}B_{i}=\Omega,B_{i}B_{j} \ne \varnothing (i \ne j) 的 B1,B2,⋯ ,BnB_{1},B_{2},\cdots,B_{n} 为 Ω\Omega 的一个完备事件组

贝叶斯公式

设 B1,B2,⋯ ,BnB_{1},B_{2},\cdots,B_{n} 满足 ⋃i=1nBi=Ω,BiBj≠∅(i≠j)\displaystyle\bigcup_{i=1}^{n}B_{i}=\Omega,B_{i}B_{j} \ne \varnothing (i \ne j) 且 P(Bk)>0,k=1,2,⋯ ,nP(B_{k}) > 0, k=1,2,\cdots,n，则

P(Bj∣A)=P(Bj)P(A∣Bj)∑i=1nP(Bi)P(A∣Bi)P(B_{j} \mid A) = {P(B_{j}) P(A \mid B_{j})\over \sum\limits_{i=1}^{n}P(B_{i})P(A \mid B_{i})}

古典概型

P(A)=nAnP(A) = {n_{A}\over n}

伯努力概型

  • 独立重复实验
  • n\displaystyle{ n } 重伯努力实验
X∼B(n,p)X \sim B(n,p) P(X=k)=C{n}{k}p{k}(1−p){n−k}\displaystyle{ P \left( X = k \right) = C _{ \left\lbrace n \right\rbrace } ^{ \left\lbrace k \right\rbrace } p ^{ \left\lbrace k \right\rbrace } \left( 1 - p \right) ^{ \left\lbrace n - k \right\rbrace } }

随机变量及其概率分布

离散

概率分布

X\displaystyle{ X }x{1}\displaystyle{ x _{ \left\lbrace 1 \right\rbrace } }x{2}\displaystyle{ x _{ \left\lbrace 2 \right\rbrace } }⋯\cdotsx{n}\displaystyle{ x _{ \left\lbrace n \right\rbrace } }⋯\cdots
Pp1\displaystyle{ p _{ 1 } }p{2}\displaystyle{ p _{ \left\lbrace 2 \right\rbrace } }⋯\cdotsp{n}\displaystyle{ p _{ \left\lbrace n \right\rbrace } }⋯\cdots

分布函数

F(x)=P{X⩽x},−∞<x<+∞F(x)=P\{X \leqslant x\}, -\infty < x < + \infty
分布函数的性质
  • 0⩽F(x)⩽1,F(−∞)=0,F(+∞)=10 \leqslant F(x) \leqslant 1, F(- \infty)=0,F(+\infty)=1
  • 单调不减
  • 右连续
  • 对任意 x{1}<x{2}\displaystyle{ x _{ \left\lbrace 1 \right\rbrace } < x _{ \left\lbrace 2 \right\rbrace } }，有 P{x1<X⩽x2}=F(x2)−F(x1)P\{x_{1}< X \leqslant x_{2}\}=F(x_{2})-F(x_{1})
  • 对任意 x\displaystyle{ x }，P(X=x)=F(x)−F(x−0)\displaystyle{ P \left( X = x \right) = F \left( x \right) - F \left( x - 0 \right) }

连续

如果对随机变量 X\displaystyle{ X } 的分布函数 F(x)\displaystyle{ F \left( x \right) }，存在一个非负可积函数 f(x)\displaystyle{ f \left( x \right) }，使得任意实数 x\displaystyle{ x }，有

F(x)=∫−∞xf(t)dt,−∞<x<+∞F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)\mathrm{d}t, -\infty < x < +\infty

称 X\displaystyle{ X } 为连续型随机变量，f(x)\displaystyle{ f \left( x \right) } 称为 X\displaystyle{ X } 的概率密度

概率密度 f(x)\displaystyle{ f \left( x \right) } 的性质
  • f(x)⩾0f(x) \geqslant 0
  • ∫−∞+∞f(x)dx=1\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x=1
  • 对 x{1}<x{2}\displaystyle{ x _{ \left\lbrace 1 \right\rbrace } < x _{ \left\lbrace 2 \right\rbrace } }，有 P{x1<X⩽x2}=∫x1x2f(t)dtP\{x_{1}<X \leqslant x_{2}\}=\displaystyle\int_{x_{1} }^{x_{2} }f(t)\mathrm{d}t
  • 在 f(x)\displaystyle{ f \left( x \right) } 的连续点处有 F′(x)=f(x)\displaystyle{ F ^{\prime} \left( x \right) = f \left( x \right) }

常用分布

二项分布

X\displaystyle{ X }01
P1−p\displaystyle{ 1 - p }p\displaystyle{ p }
X∼B(1,p)X \sim B(1,p)

几何分布

酒鬼有放回的拿钥匙，试了前 k−1\displaystyle{ k - 1 } 次都失败了，第 k\displaystyle{ k } 次成功

P {X=k }=pq{k−1}\displaystyle{ P \ \left\lbrace X = k \ \right\rbrace = p q ^{ \left\lbrace k - 1 \right\rbrace } }

超几何分布

N\displaystyle{ N } 件产品中含有 M\displaystyle{ M } 件次品，从中任意抽取 n\displaystyle{ n } 件，X\displaystyle{ X } 为抽取的产品中次品数量

P{X=k}=CMkCN−Mn−kCNn,k=l1,⋯ ,l2P\{X=k\}={C_{M}^{k} C_{N-M}^{n-k} \over C_{N}^{n} }, k=l_{1,}\cdots, l_{2}

其中，l1=max⁡(0,n−N+M)l_{1}=\max(0, n-N+M)，l2=min⁡(M,n)l_{2}=\min(M, n)

泊松分布

X∼P(λ)X \sim P(\lambda) P{X=k}=λkk!e−λP\{X=k\}={\lambda^{k} \over k!} e ^{-\lambda}
泊松定理

在伯努力实验中，pn\displaystyle{ p _{ n } } 代表事件 A\displaystyle{ A } 在一次实验中出现的概率，它与实验总数有关，且随 n\displaystyle{ n } 增大，pn\displaystyle{ p _{ n } } 减小，如果 lim⁡n→∞npn=λ\displaystyle \lim_{n \to \infty} np_{n}=\lambda，则出现 k\displaystyle{ k } 次 A\displaystyle{ A } 发生的概率为

lim⁡n→∞Cnkpnk(1−pn)n−k=λkk!e−λ\lim_{n \to \infty}C_{n}^{k} p_{n}^{k}(1-p_{n})^{n-k} = {\lambda^{k} \over k!} e^{-\lambda}

当 n\displaystyle{ n } 较大，p\displaystyle{ p } 较小，np\displaystyle{ n p } 不太大，这时有近似公式

Cnkpnk(1−pn)n−k≈(np)kk!e−npC_{n}^{k} p_{n}^{k}(1-p_{n})^{n-k} \approx {(np)^{k} \over k!} e^{-np}

均匀分布

X∼U[a,b]X \sim U[a, b] f(x)={1b−a,a⩽x⩽b0,elsef(x) = \begin{cases} \displaystyle{1 \over b-a}, & a \leqslant x \leqslant b \\ 0, & \text{else} \end{cases}

指数分布

λ>0\lambda > 0

X∼e(λ)X \sim e(\lambda) f(x)={λe−λx,x>00,x⩽0F(x)={1−e−λx,x>00,x⩽0\begin{aligned} f(x) &= \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x}, & x > 0 \\ 0, & x \leqslant 0 \end{cases} \\ F(x) &= \begin{cases} 1-e^{-\lambda x}, &x>0 \\ 0, &x \leqslant 0 \end{cases} \end{aligned}

指数分布具有无记忆性

正太态分布

🤤🤤……正太我的正太……🤤🤤…正太我的🤤🤤正太……🤤🤤白白嫩嫩……🤤🤤的正太……🤤🤤

X∼N(μ,σ2)X \sim N(\mu, \sigma^{2}) f(x)=12πσe−(x−μ)22σ2,−∞<x<+∞F(x)=12πσ∫−∞xe−(t−μ)22σ2dt,−∞<x<+∞\begin{aligned} f(x) &= {1 \over \sqrt{2 \pi} \sigma} e^{-{(x-\mu)^{2} \over 2 \sigma^{2} } }, -\infty < x < + \infty \\ F(x) &= {1 \over \sqrt{2 \pi} \sigma} \int _{-\infty} ^{x} e^{-{(t-\mu)^{2} \over 2 \sigma^{2} } } \mathrm{d} t, -\infty < x < + \infty \end{aligned}

标准正态分布

φ(x)=12πe−x22,−∞<x<+∞Φ(x)=12π∫−∞xe−t22dt,−∞<x<+∞\begin{aligned} \varphi(x) &= {1 \over \sqrt{2 \pi}} e^{-{x^2 \over 2 } }, -\infty < x < + \infty \\ \Phi(x) &= {1 \over \sqrt{2 \pi} } \int _{-\infty} ^{x} e^{-{t^{2} \over 2 } } \mathrm{d} t, -\infty < x < + \infty \end{aligned}

随机变量函数的分布

X\displaystyle{ X } 是随机变量，其函数 Y=g(X)\displaystyle{ Y = g \left( X \right) } 也是随机变量

  • 离散型运算时，只需两次代入即可
  • 连续型，X\displaystyle{ X } 的概率密度函数为 f{X}(x)\displaystyle{ f _{ \left\lbrace X \right\rbrace } \left( x \right) }，Y\displaystyle{ Y } 也是连续型随机变量，其概率密度为 f{Y}(y)\displaystyle{ f _{ \left\lbrace Y \right\rbrace } \left( y \right) }，需要用以下两种方法运算

公式法

y=g(x)\displaystyle{ y = g \left( x \right) } 是单调函数，导数不为零的可导函数，h(y)\displaystyle{ h \left( y \right) } 为它的反函数，则

fY(y)={∣h′(y)∣fX(h(y)),α<y<β0,elsef_{Y}(y) = \begin{cases} |h'(y)| f_{X}(h(y)), & \alpha < y < \beta \\ 0, & \text{else} \end{cases}

定义法

先求分布函数 F{Y}(y)\displaystyle{ F _{ \left\lbrace Y \right\rbrace } \left( y \right) }

FY(y)=P(Y⩽y)=P(g(X)⩽y)=∫g(x)⩽yfX(x)dxF_{Y}(y) =P(Y \leqslant y) = P(g(X) \leqslant y) =\underset{g(x)\leqslant y}{\int}f_{X}(x) \mathrm{d} x

然后 f{Y}(y)=F{Y}′(y)\displaystyle{ f _{ \left\lbrace Y \right\rbrace } \left( y \right) = F ^{\prime} _{ \left\lbrace Y \right\rbrace } \left( y \right) }