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概率论-多维随机变量

多维随机变量及其分布

二维随机变量

二维随机变量 (X,Y)\displaystyle{ \left( X , Y \right) }，对任意实数 x,y\displaystyle{ x , y }，二元函数

F(x,y)=P(X⩽x,Y⩽y),−∞<x,y<+∞F(x,y)=P(X \leqslant x, Y \leqslant y), -\infty < x,y < +\infty

称为二维随机变量 (X,Y)\displaystyle{ \left( X , Y \right) } 的分布函数，或称随机变量 X\displaystyle{ X } 和 Y\displaystyle{ Y } 的联合分布

性质
  • 0⩽F(x,y)⩽10 \leqslant F(x,y) \leqslant 1
  • F(−∞,y)=F(x,−∞)=F(−∞,−∞)=0,F(+∞,+∞)=1F(-\infty, y)=F(x,-\infty)=F(-\infty, -\infty)=0, F(+\infty, +\infty)=1
  • 关于 x,y\displaystyle{ x , y } 均单调不减
  • 关于 x,y\displaystyle{ x , y } 均右连续
  • P(a<X⩽b,c<Y⩽d)=F(b,d)+F(a,c)−F(b,c)−F(a,d)P(a<X \leqslant b,c < Y \leqslant d)=F(b,d)+F(a,c)-F(b,c)-F(a,d)

边缘分布

FX(x)=P(X⩽x)=P(X⩽x,Y<+∞)=F(x,+∞)FY(y)=P(Y⩽y)=P(X<+∞,Y⩽y)=F(+∞,y)\begin{aligned} F_{X}(x) & = P(X \leqslant x) = P(X \leqslant x, Y < +\infty)=F(x,+\infty) \\ F_{Y}(y) & = P(Y \leqslant y) = P(X < +\infty, Y \leqslant y)=F(+\infty, y) \end{aligned}

条件概率

FX∣Y(x∣y)=P(X⩽x∣Y=y)=lim⁡ε→0+P(X⩽x∣y−ε<Y⩽y+ε)=lim⁡ε→0+P(X⩽x,y−ε<Y⩽y+ε)P(y−ε<Y⩽y+ε)\begin{aligned} F_{X|Y}(x \mid y) & = P(X \leqslant x \mid Y=y) \\ & = \lim_{\varepsilon \to 0^{+} }P(X \leqslant x \mid y - \varepsilon < Y \leqslant y + \varepsilon) \\ & = \lim_{\varepsilon \to 0^{+} } { P(X \leqslant x, y - \varepsilon < Y \leqslant y + \varepsilon) \over P(y - \varepsilon < Y \leqslant y + \varepsilon) } \end{aligned}

二维离散型随机变量

分布律——画二维表

二维连续型随机变量

F(x,y)=∫−∞x∫−∞yf(u,v)dudvF(x,y)=\int_{-\infty}^{x}\int_{-\infty}^{y}f(u,v) \mathrm{d}u \mathrm{d}v ∫−∞+∞∫−∞+∞f(x,y)dxdy=1\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y) \mathrm{d}x \mathrm{d}y=1 P((X,Y)∈D)=∬Df(x,y)dxdyP((X,Y) \in D) = \iint_{D}f(x,y) \mathrm{d} x \mathrm{d} y

边缘密度

fX(x)=∫−∞+∞f(x,y)dyfY(y)=∫−∞+∞f(x,y)dx\begin{aligned} f_{X}(x) & = \int _{-\infty} ^{+\infty} f(x,y) \mathrm{d} y \\ f_{Y}(y) & = \int _{-\infty} ^{+\infty} f(x,y) \mathrm{d} x \\ \end{aligned}

条件密度

条件分布

FX∣Y(x∣y)=∫−∞xf(s,y)fY(y)dsF_{X|Y}(x \mid y) = \int _{-\infty} ^{x} {f(s,y) \over f_{Y} (y)} \mathrm{d} s

在条件 Y=y\displaystyle{ Y = y } 下的条件密度

fX∣Y(x∣y)=f(x,y)fY(y),fY(y)>0f_{X|Y}(x \mid y) = {f(x,y) \over f_{Y}(y)}, f_{Y}(y) > 0

随机变量的独立性

定义

如果对任意 x,y\displaystyle{ x , y } 都有

P{X⩽x,Y⩽y}=P{X⩽x}PY⩽yF(x,y)=FX(x)FY(y)\begin{aligned} P\{X \leqslant x, Y \leqslant y\} &= P\{ X \leqslant x\}P{Y \leqslant y} \\ F(x,y)&=F_{X}(x)F_{Y}(y) \end{aligned}

则称随机变量 X,Y\displaystyle{ X , Y } 相互独立

离散型随机变量 X\displaystyle{ X } 和 Y\displaystyle{ Y } 相互独立的充要条件

对任意 i,j=1,2,⋯i, j=1,2,\cdots 成立

P {X=x{i},Y=y{j} }=P {X=x{i} }P {Y=y{j} }\displaystyle{ P \ \left\lbrace X = x _{ \left\lbrace i \right\rbrace } , Y = y _{ \left\lbrace j \right\rbrace } \ \right\rbrace = P \ \left\lbrace X = x _{ \left\lbrace i \right\rbrace } \ \right\rbrace P \ \left\lbrace Y = y _{ \left\lbrace j \right\rbrace } \ \right\rbrace }

即 p{ij}=p{i}p{j}\displaystyle{ p _{ \left\lbrace i j \right\rbrace } = p _{ \left\lbrace i \right\rbrace } p _{ \left\lbrace j \right\rbrace } }，表现为表格行的边缘概率与列的边缘概率乘积等于行列所在的单元格的概率

二维均匀分布和二维正态分布

定义

如果二维连续型随机变量 (X,Y)\displaystyle{ \left( X , Y \right) } 的概率密度为

f(x,y)={1A,(x,y)∈G0,elsef(x,y)=\begin{cases}{1\over A}, &(x,y)\in G \\ 0, & \text{else}\end{cases}

其中 A\displaystyle{ A } 是平面有界区域 G\displaystyle{ G } 的面积，则称 (X,Y)\displaystyle{ \left( X , Y \right) } 服从区域 G\displaystyle{ G } 熵的均匀分布

二维正态分布

(X,Y)∼N(μ1,μ2;σ1,σ2;ρ)(X,Y) \sim N(\mu_{1},\mu_{2};\sigma_{1},\sigma_{2}; \rho)

其中 μ1,μ2,σ1>0,σ2>0,−1<ρ<1\mu_{1},\mu_{2},\sigma_{1}>0, \sigma_{2}>0, -1 < \rho < 1. 对于满足二维正态分布的随机变量 (X,Y)\displaystyle{ \left( X , Y \right) }，有

  • X∼N(μ1,σ12),Y∼N(μ2,σ22)X \sim N(\mu_{1},\sigma_{1}^{2}), Y \sim N(\mu_{2}, \sigma_{2}^{2})
  • X\displaystyle{ X } 和 Y\displaystyle{ Y } 相互独立的充要条件是 ρ=0\rho=0
  • aX+bY∼N(aμ1+bμ2,a2σ12+2abσ1σ2ρ+b2σ22)aX+bY \sim N(a\mu_{1}+b\mu_{2}, a^{2}\sigma_{1}^{2}+2ab\sigma_{1}\sigma_{2}\rho +b^{2}\sigma_{2}^{2})
  • 当 ab−bc≠0ab-bc \ne 0 时，(aX+bY,cX+dY)\displaystyle{ \left( a X + b Y , c X + d Y \right) } 也一定是二维正态分布

两个随机变量函数 Z=g(X,Y)\displaystyle{ Z = g \left( X , Y \right) } 的分布

均为离散型

和一维离散型类似

均为连续型

FZ(z)=P(Z⩽z)=P(g(X,Y)⩽z)=∬g(x,y)⩽zf(x,y)dxdyF_{Z}(z) = P(Z \leqslant z) = P(g(X,Y) \leqslant z) = \underset{g(x,y)\leqslant z}{\iint}f(x,y) \mathrm{d} x \mathrm{d} y
Z=X+Y\displaystyle{ Z = X + Y }
FZ(z)=P(X+Y⩽z)=∬x+y⩽zf(x,y)dxdy=∫−∞+∞dx∫−∞z−xf(x,y)dy=∫−∞+∞dy∫−∞z−yf(x,y)dx\begin{aligned} F_{Z}(z) & = P(X+Y \leqslant z) = \underset{x+y \leqslant z}{\iint} f(x,y) \mathrm{d} x \mathrm{d} y \\ & = \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{d} x \int_{-\infty}^{z-x}f(x,y) \mathrm{d} y = \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{d} y \int_{-\infty}^{z-y}f(x,y) \mathrm{d} x \end{aligned}

由此得到 Z=X+Y\displaystyle{ Z = X + Y } 的概率密度为

fZ(z)=∫−∞+∞f(x,z−x)dxfZ(z)=∫−∞+∞f(z−y,y)dy\begin{aligned} f_{Z}(z) & =\int_{-\infty}^{+\infty}f(x, z-x) \mathrm{d} x \\ f_{Z}(z) & =\int_{-\infty}^{+\infty}f(z-y, y) \mathrm{d} y \end{aligned}

特别的，当 X\displaystyle{ X } 与 Y\displaystyle{ Y } 相互独立时，f(x,y)=f{X}(x)f{Y}(y)\displaystyle{ f \left( x , y \right) = f _{ \left\lbrace X \right\rbrace } \left( x \right) f _{ \left\lbrace Y \right\rbrace } \left( y \right) }，则有卷积公式

fZ(z)=∫−∞+∞fX(x)fY(z−x)dxfZ(z)=∫−∞+∞fX(z−y)fY(y)dy\begin{aligned} f_{Z}(z) & =\int_{-\infty}^{+\infty}f_{X}(x)f_{Y}(z-x) \mathrm{d} x \\ f_{Z}(z) & =\int_{-\infty}^{+\infty}f_{X}(z-y)f_{Y}(y) \mathrm{d} y \end{aligned}

X\displaystyle{ X } 为离散型，Y\displaystyle{ Y } 为连续型

X\displaystyle{ X }x{1}\displaystyle{ x _{ \left\lbrace 1 \right\rbrace } }x{2}\displaystyle{ x _{ \left\lbrace 2 \right\rbrace } }⋯\cdotsx{i}\displaystyle{ x _{ \left\lbrace i \right\rbrace } }⋯\cdots
P\displaystyle{ P }p{1}\displaystyle{ p _{ \left\lbrace 1 \right\rbrace } }p{2}\displaystyle{ p _{ \left\lbrace 2 \right\rbrace } }⋯\cdotsp{i}\displaystyle{ p _{ \left\lbrace i \right\rbrace } }⋯\cdots
FZ(z)=P(Z⩽z)=P(g(X,Y)⩽z)=∑iP(X=xi)P(g(X,Y)⩽z∣X=xi)=∑ipiP(g(X,Y)⩽z∣X=xi)\begin{aligned} F_{Z}(z) &= P(Z \leqslant z)=P(g(X,Y) \leqslant z) \\ & = \sum\limits_{i}P(X=x_{i}) P(g(X,Y) \leqslant z \mid X=x_{i}) \\ & = \sum\limits_{i}p_{i}P(g(X,Y) \leqslant z \mid X=x_{i}) \end{aligned}
Z=max⁡{X,Y}Z = \max \{X,Y\}

X,Y\displaystyle{ X , Y } 独立，有

P(Z⩽z)=P(X⩽z,Y⩽z)FZ(z)=P(Z⩽z)=P(X⩽z,Y⩽z)=P(X⩽z)P(Y⩽z)=FX(x)FY(y)\begin{aligned} P(Z \leqslant z) &=P(X \leqslant z, Y \leqslant z) \\ F_{Z}(z) &=P(Z \leqslant z) = P(X \leqslant z, Y \leqslant z) \\ & = P(X \leqslant z)P(Y \leqslant z) = F_{X}(x)F_{Y}(y) \end{aligned}
Z=min⁡{X,Y}Z = \min \{X,Y\}

X,Y\displaystyle{ X , Y } 独立，有

FZ(z)=P(Z⩽z)=1−P(Z>z)=1−P(X>z,Y>z)=1−P(X>z)P(Y>z)=1−(1−FX(x))(1−FY(y))\begin{aligned} F_{Z}(z) &= P(Z \leqslant z) = 1 - P(Z > z) \\ & = 1 - P(X > z, Y > z) = 1 - P(X > z)P(Y>z) \\ &= 1-(1-F_{X}(x))(1-F_{Y}(y)) \end{aligned}