微分方程

1. 一阶微分方程

1.1. 概念

含有未知数、位置函数的导函数与自变量之间的关系的方程，称为 微分方程
未知函数导函数的最高阶数称为 该微分方程的阶
未知函数是一元函数的微分方程称为 常微分方程

y^{(n)} = f\left(x,y,y',\cdots,y^{(n-1)}\right)

设 $y=\varphi(x)$ 在区间 $\displaystyle{ \left( a . b \right) }$ 上连续且有直到 $\displaystyle{ n }$ 阶的导数，使得

\varphi ^{(n)} (x) \equiv f\left(x,\varphi (x), \varphi '(x), \cdots, \varphi ^{(n-1)}\right)

则称 $y=\varphi(x)$ 为该微分方程在区间 $\displaystyle{ \left( a , b \right) }$ 上的一个解

如果含有 $\displaystyle{ n }$ 个独立的任意常数的函数

y=\varphi(x,C_{1},\cdots,C_{n}),a<x<b

是 $\displaystyle{ n }$ 阶微分方程的解，则称它为该微分方程的通解，不含任意常数的解称为特解，条件

\begin{aligned} y(x_{0}) &=y_{0} \\ y'(x_{0}) &=y_{0}' \\ & \cdots \\ y^{(n-1)}(x_{0})&= y_{0}^{(n-1)} \end{aligned}

称为 $\displaystyle{ n }$ 阶微分方程的初始条件，其中 $y_{0},y_{0}',\cdots$ 为 $\displaystyle{ n }$ 个给定的数，一般，由初始条件确定解中任意常数就得到相应的一个特解

1.2. 几种特殊类型的解法

1.2.1. 可分离变量

{ \mathrm{d}y \over \mathrm{d} x } = h(x)g(y)

可化为

{ \mathrm{d} y \over g(y)} = h(x) \mathrm{d} x

两边积分

\int { \mathrm{d} y \over g(y)} = \int h(x) \mathrm{d} x + C

其中， $\displaystyle{ C }$ 为任意常数

1.2.2. 齐次

\begin{aligned} { \mathrm{d}y \over \mathrm{d} x } = f(x,y) && (3) \end{aligned}

中的 $\displaystyle{ f \left( x , y \right) }$ ，若令 $\displaystyle{ y = u x }$ ，当 $x \ne 0$ 时，可化为

f(x,y)=f(x,ux)=\varphi(u)

以新的未知函数 $\displaystyle{ u }$ 代替 $\displaystyle{ y }$ ，得

u + x { \mathrm{d} u \over \mathrm{d} x} = \varphi(u)

即可分离变量

1.3. 一阶线性微分方程

\displaystyle{ y ^{\prime} + p \left( x \right) y = q \left( x \right) }

通解是

y=\mathrm{e}^{-\int p(x) \mathrm{d}x}\left[\int q(x) \mathrm{e} ^{\int p(x) \mathrm{d} x} + C \right]

1.4. 伯努力方程

\displaystyle{ y ^{\prime} + p \left( x \right) y = q \left( x \right) y ^{ \left\lbrace n \right\rbrace } }

化为

y^{-n} {\mathrm {d} y \over \mathrm{d} x} + p(x) y^{1-n}=q(x)

令 $\displaystyle{ z = y ^{ \left\lbrace 1 - n \right\rbrace } }$ ，有

{\mathrm {d} z \over \mathrm{d} x} = {\mathrm {d} (y^{1-n}) \over \mathrm{d} x} = (1-n)y^{-n} {\mathrm {d} y \over \mathrm{d} x}

得

{1 \over 1-n} {\mathrm {d} z \over \mathrm{d} x} + p(x)z = q(x)

代入线性微分方程的通解公式，然后代回 $\displaystyle{ y }$ ，得到原解

1.5. 全微分方程

若存在二元函数 $\displaystyle{ u \left( x , y \right) }$ ，使

\mathrm{d} u(x,y) = P(x,y) \mathrm{d} x + Q(x,y) \mathrm{d} y

则称微分方程

\begin{aligned} P(x,y) \mathrm{d} x + Q(x,y) \mathrm{d} y = 0 && (4) \end{aligned}

为全微分方程，通解为

\displaystyle{ u \left( x , y \right) = C }

由曲线积分中有关的定理，有下述定理

设 $\displaystyle{ D }$ 为平面上的一个但连通区域， $\displaystyle{ P \left( x , y \right) }$ 与 $\displaystyle{ Q \left( x , y \right) }$ 在 $\displaystyle{ D }$ 上连续且有连续的一阶偏导数，则方程 (4) 为全微分方程的充要条件为

{\partial P \over \partial y} = { \partial Q \over \partial x}, (x,y) \in D

可以由观察法找 $\displaystyle{ u \left( x , y \right) }$ ，或者在路径无关条件下找 $\displaystyle{ u \left( x , y \right) }$ ，或者区域 $\displaystyle{ D }$ 为边平行于坐标轴的矩形条件下，由折线法找 $\displaystyle{ u \left( x , y \right) }$

2. 二阶及高阶线性微分方程

2.1. 线性微分方程

定义

\begin{aligned} y^{(n)} + a_{1}(x)y^{(n-1)} + \cdots + a_{n-1}(x)y'+a_{n}(x)y=f(x),f(x) \not\equiv 0 && (1) \end{aligned}

其中系数 $\displaystyle{ a _{ \left\lbrace i \right\rbrace } \left( x \right) }$ 为已知函数，称为 $\displaystyle{ n }$ 阶线性非齐次微分方程， $\displaystyle{ f \left( x \right) }$ 为自由项，方程

\begin{aligned} y^{(n)} + a_{1}(x)y^{(n-1)} + \cdots + a_{n-1}(x)y'+a_{n}(x)y=0 && (2) \end{aligned}

为 $\displaystyle{ n }$ 阶线性齐次微分方程

定义

设 $y_{1}(x), \cdots, y_{m}(x)$ 是定义在区间 $\displaystyle{ \left( a , b \right) }$ 内的 $\displaystyle{ m }$ 个函数，如果存在不全为零的 $\displaystyle{ m }$ 个常数 $k_1,\cdots,k_m$ ，使得

\begin{aligned} k_{1}y_{1}(x) + \cdots k_{m}y_{m}(x) \equiv 0 && (3) \end{aligned}

成立，则称这 $\displaystyle{ m }$ 个函数在该区间内 线性相关，否则称 线性无关

2.2. 线性微分方程解的性质

定理

设 $y^{\ast}(x)$ 为 (1) 的一个解， $\displaystyle{ Y \left( x \right) }$ 为 (1) 所对应的 (2) 的一个解，则 $y=Y(x)+ y^{\ast}(x)$ 为 (1) 的解
设 $y_{1}^{\ast}(x)$ 与 $y_{2}^{\ast}(x)$ 为 (1) 的两个解，则 $y=y_{1}^{\ast}(x)-y_{2}^{\ast}(x)$ 为 (1) 所对应的 (2) 的解

齐次线性方程的解的叠加

设 $y_{1}(x), \cdots, y_{m}(x)$ 是齐次线性方程 (2) 的 $\displaystyle{ m }$ 个解，则他们的线性组合

y=\sum\limits_{i=1}^{m}C_{i}y_{i}

也是 (2) 的解，其中 $C_{i}(i=1,\cdots,m)$ 为常数

齐次线性方程的通解结构

设 $y_{i}(x)(i=1,2,\cdots,n)$ 为 $\displaystyle{ n }$ 阶齐次线性方程 (2) 的 $\displaystyle{ n }$ 个线性无关的解， $C_{i}(i=1,2,\cdots,n)$ 为常数，则

y=\sum\limits_{i=1}^{n}C_{i}y_{i}(x)

为 (2) 的解

非其次线性方程的通解结构

设 $y^{\ast}(x)$ 为 (1) 的一个解， $\displaystyle{ Y \left( x \right) }$ 为 (1) 对应的 (2) 的通解，则

y=Y(x) + y^{\ast}(x)

为 (1) 的通解

自由项为 $\displaystyle{ f \left( x \right) = f _{ \left\lbrace 1 \right\rbrace } \left( x \right) + f _{ \left\lbrace 2 \right\rbrace } \left( x \right) }$ 的解的叠加原理

设 $y_{i}^{\ast}$ 为

y^{(n)}+a_{1}(x)y^{(n-1)} + \cdots + a_{n-1}(x)y' +a_{n}(x)y=f_{i}(x)

的解 $\displaystyle{ \left( i = 1 , 2 \right) }$ ，则 $y_{1}^{\ast}(x)+y_{2}^{\ast}(x)$ 为

y^{(n)}+a_{1}(x)y^{(n-1)} + \cdots + a_{n-1}(x)y' +a_{n}(x)y=f_{1}(x) +f_{2}(x)

的解

二阶常系数线性其次方程的通解求法及公式

二阶常系数线性齐次微分方程可写成

\begin{aligned} y'' + py'+qy=0 && (4) \end{aligned}

其中， $\displaystyle{ p , q }$ 为常数，方程

\begin{aligned} r^{2}+pr+q=0 && (5) \end{aligned}

为方程 (4) 对应的 特征方程，它的根 $\displaystyle{ r }$ 称为 特征根。按不同情况，通解如下表

特征方程 $\displaystyle{ r ^{ \left\lbrace 2 \right\rbrace } + pr + q = 0 }$ 的根	微分方程 $\displaystyle{ y ^{\prime\prime} + p y ^{\prime} + q y = 0 }$ 的通解
一对不等的实根 $r_{1}\ne r_{2}$	$\displaystyle{ y = C _{ \left\lbrace 1 \right\rbrace } e ^{ \left\lbrace r _{ \left\lbrace 1 \right\rbrace } x \right\rbrace } + C _{ \left\lbrace 2 \right\rbrace } e ^{ \left\lbrace r _{ \left\lbrace 2 \right\rbrace } x \right\rbrace } }$
一对相等的实根 $\displaystyle{ r _{ \left\lbrace 1 \right\rbrace } = r _{ \left\lbrace 2 \right\rbrace } }$	$\displaystyle{ y = \left( C _{ \left\lbrace 1 \right\rbrace } + C _{ \left\lbrace 2 \right\rbrace } x \right) e ^{ \left\lbrace r x \right\rbrace } }$
一对共轭复根 $r_{1,2}=\alpha \pm \beta i, \beta>0$	$y=e^{\alpha x}(C_{1} \cos \beta x + C_{2}\sin \beta x)$

由 2 阶推广到 $\displaystyle{ n }$ 阶

$\displaystyle{ n }$ 阶常系数线性其次微分方程

y^{(n)} + a_{1}y^{(n-1)} + \cdots + a_{n-1}y' + a_{n}y=0

对应特征方程

r^{n}+a_{1}r^{n-1}+\cdots+a_{n-1}r+a_{n}=0

关系如下表

特征方程的根	微分方程通解中对应的项
单重实根 $\displaystyle{ r }$	对应一项 $\displaystyle{ C e ^{ \left\lbrace r x \right\rbrace } }$
$\displaystyle{ k }$ 重实根 $\displaystyle{ r }$	对应 $\displaystyle{ k }$ 项 $(C_{1}+C_{2}x + \cdots C_{k}x^{k-1})e^{rx}$
单重复数根 $r_{1,2}=\alpha \pm \beta i$	对应两项 $e^{\alpha x}(C_{1}\cos \beta x + C_{2} \sin \beta x)$
$\displaystyle{ k }$ 重复数根 $r_{1,2}=\alpha \pm \beta i$	对应 $\displaystyle{ 2 k }$ 项 $e^{\alpha x}[(A_{1}+A_{2}x+\cdots +A_{k}x^{k-1})\cos\beta x +(B_{1}+ B_{2}x+\cdots+B_{k}x^{k-1})\sin \beta x]$

某些特殊自由项的二阶常系数线性非齐次微分方程的解法

类型 1

y'' + py'+qy = P_{m}(x)e^{\alpha x}

求对应齐次方程的通解 $\displaystyle{ Y \left( x \right) }$
求该非其次方程的特解 $y^{\ast}(x)$

y^{\ast}(x) = x^{k}Q_{m}(x)e^{\alpha x}

其中

k= \begin{cases} 0 & \text{case } a \ne \lambda_{1} \text{ and } a \ne \lambda_{2} \\ 1 & \text{case } a = \lambda_{1} \text{ xor } a =\lambda_{2} \\ 2 & \text{case } a = \lambda_{1} = \lambda_{2} \end{cases}

类型 2

\begin{aligned} y''+py'+qy&=P_{m}(x)e^{ax} \cos bx + Q_{n}(x)e^{ax} \sin bx \end{aligned}

求对应齐次方程的通解 $\displaystyle{ Y \left( x \right) }$
令非齐次微分方程的特解为

y^{\ast}(x)=x^{k}\left( R_{l}(x) e^{ax} \cos bx + S_{l}(x) e^{ax} \sin bx \right)

其中

k= \begin{cases} 0 & \text{case } a\pm{\rm i}b \text{ is {\color{red}not} the characteristic root} \\ 1 & \text{case } a\pm{\rm i}b \text{ is a {\color{red}singlet} characteristic root} \end{cases}

l=\max\{m, n\}

可降阶方程的解法

1. $\displaystyle{ y ^{\prime\prime} = f \left( x \right) }$

做两次积分即可

2. $\displaystyle{ y ^{\prime\prime} = f \left( x , y ^{\prime} \right) }$ 缺 $\displaystyle{ y }$ 型

令 $\displaystyle{ p = y ^{\prime} }$ ， $y''=\displaystyle{\mathrm {d} p \over \mathrm{d} x}$ ，从而有

{\mathrm {d} p \over \mathrm{d} x}=f(x,p)

可解得 $p=\varphi(x, C_{1})$ ，原方程的通解为 $y=\displaystyle\int \varphi(x,C_{1}) + C_{2}$

3. $\displaystyle{ y ^{\prime\prime} = f \left( y , y ^{\prime} \right) }$ 缺 $\displaystyle{ x }$ 型

令 $p=y', y''=\displaystyle {\mathrm {d} p \over \mathrm{d} x}={\mathrm {d} p \over \mathrm{d} y} \cdot {\mathrm {d} y \over \mathrm{d} x} = p {\mathrm {d} p \over \mathrm{d} y}$ ，从而有

p {\mathrm {d} p \over \mathrm{d} y}=f(y,p)

解出 $p=\psi(y,C_{1})$ ，再由 $p=\displaystyle{\mathrm {d} y \over \mathrm{d} x}$ 代入，得

\int {\mathrm {d}y \over \psi(y,C_{1})}=\int \mathrm{d}x+C_{2}= x+C_{2}

做出左边积分，得到原微分方程的解

欧拉方程

x^{2} {\mathrm {d}^{2} y \over \mathrm{d} x^{2} }+a_{1}x {\mathrm {d} y \over \mathrm{d} x} + a_{2}y=f(x)

若 $\displaystyle{ x > 0 }$ ，令 $\displaystyle{ x = e ^{ t } }$ 作变量代换，有 $t=\ln x$ ，从而 $\displaystyle {\mathrm {d} t \over \mathrm{d} x}={1 \over x}$

\begin{aligned} {\mathrm {d} y \over \mathrm{d} x} & = {\mathrm {d} y \over \mathrm{d} t} \cdot {\mathrm {d} t \over \mathrm{d} x} = {1 \over x} {\mathrm {d} y \over \mathrm{d} t} \\ {\mathrm {d}^{2} y \over \mathrm{d} x^{2} } &= {\mathrm {d} \over \mathrm{d} x} \left( {1 \over x} {\mathrm {d} y \over \mathrm{d} t} \right) = - {1 \over x^{2} } {\mathrm {d} y \over \mathrm{d} t} + {1 \over x} {\mathrm {d} \over \mathrm{d} x} \left( {\mathrm {d} y \over \mathrm{d} t} \right) \\ & = - {1 \over x^{2} } {\mathrm {d} y \over \mathrm{d} t} + {1 \over x}{ \color{red} {\mathrm {d} \over \mathrm{d} t} } \left( {\mathrm {d} y \over \mathrm{d} t} \right) { \color{red} {\mathrm {d} t \over \mathrm{d} x} } \\ & = - {1 \over x^{2} } {\mathrm {d} y \over \mathrm{d} t} + {1 \over x^{2} } {\mathrm {d}^{2} y \over \mathrm{d} t^{2} } \end{aligned}

原方程化为

{\mathrm {d}^{2} y \over \mathrm{d} t^{2} }+ (a_{1} - 1) {\mathrm {d} y \over \mathrm{d} t} +a_{2} y = f(e ^ {t})

是常系数线性微分方程，解答后还原为 $\displaystyle{ x }$ 即可

而对于 $\displaystyle{ x < 0 }$ 的情况，令 $\displaystyle{ x = - e ^{ \left\lbrace t \right\rbrace } }$ 同理

3. 微分算子法求二阶常系数线性非齐次微分方程

3.1. 概念

微分

y'={\mathrm {d} y \over \mathrm{d} x} = {\color{red} {\mathrm {d} \over \mathrm{d} x} } y

算子

{\rm D} := {\mathrm {d} \over \mathrm{d} x}

${\rm D} x^2=2x$
${\rm D} \sec x = \sec x \tan x$

而 $\displaystyle{1 \over{\rm D} }$ 代表着微分的逆运算：积分

$\displaystyle{1 \over {\rm D} } \cos x=\sin x$
$\displaystyle{1 \over {\rm D} } x^{2}={1 \over 3} x^{3}$

推导

由 $\displaystyle{ n }$ 阶的一般式

a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)} + \cdots + a_{1}(x)y' +a_{0}(x)y=f(x)

将算子提取

a_{n} {\color{blue} {\rm D}^{n} }y+a_{n-1} {\color{blue}{\rm D}^{n-1} }y + \cdots + a_{1}{\color{blue}{\rm D} }y +a_{0}y=f(x)

于是上式有公因子 $\displaystyle{ y }$

(a_{n} {\color{blue} {\rm D}^{n} }+a_{n-1} {\color{blue}{\rm D}^{n-1} } + \cdots + a_{1}{\color{blue}{\rm D} } +a_{0}){\color{red}y}=f(x)

括号内即为关于微分算子 $\rm D$ 的多项式，即微分算子式

令 $F({\rm D}) y=f(x)$ ，有

y^{\ast} = {\color{blue}{1 \over F({\rm D})} }f(x)

$y^{\ast}$ 即为 ${1 \over F({\rm D})}$ 作用于 $\displaystyle{ f \left( x \right) }$ 的结果

3.2. $\displaystyle{ f \left( x \right) }$ 形如 $\displaystyle{ e ^{ \left\lbrace k x \right\rbrace } }$ 类

\displaystyle{ 3 y ^{\prime\prime} - 2 y ^{\prime} + 5 y = e ^{ \left\lbrace 2 x \right\rbrace } }

\begin{aligned} F({\rm D}) & = 3 {\rm D}^{2}-2{\rm D} + 5 \\ y^{\ast} & = { \color{blue}{ 1 \over 3 {\rm D}^{2}-2{\rm D} + 5} } e^{ {\color{red}2 }x} \\ & = {1 \over 13} e^{2x} \end{aligned}

将 $\displaystyle{ e }$ 的指数直接代入 $\rm D$

\displaystyle{ y ^{\prime\prime} + 2 y ^{\prime} + 3 y = e ^{ \left\lbrace - 3 x \right\rbrace } }

\begin{aligned} F(D) & = D^{2}+2D-3 \\ y^{\ast} &={\color{blue} {1 \over D^{2}+2D-3 } } e^{ {\color{red}-3}x} \end{aligned}

此时，将 $\displaystyle{ D = - 3 }$ 代入，发现分母上为 0，我们选择放弃代入，前面乘 $\displaystyle{ x }$ ，对算子求一阶导数

\begin{aligned} y^{\ast} &={\color{blue} {1 \over D^{2}+2D-3 } } e^{ {\color{red}-3}x} \\ & = x {\color{blue} {1 \over 2 D+2 } } e^{ {\color{red}-3}x} \\ & = - {1 \over 4} x e^{-3x} \end{aligned}

\displaystyle{ y ^{\prime\prime\prime} + 3 y ^{\prime\prime} + 3 y ^{\prime} + y = e ^{ \left\lbrace - x \right\rbrace } }

\begin{aligned} F(D) & = D^{3}+3D^{2}+3D+1 \\ y^{\ast} & = {\color{blue} {1 \over D^{3}+3D^{2}+3D+1} }e^{ {\color{red} -}x} \\ & = x {\color{blue} {1 \over 3D^{2} + 6D + 3} } e^{ {\color{red} -}x} \\ & = x^{2} {\color{blue} {1 \over 6D+6} } e^{ {\color{red} -}x} \\ & = {1 \over 6} x^{3}e^{-x} \end{aligned}

\displaystyle{ 5 y ^{\prime\prime} - 3 y ^{\prime} + 4 y = 5 }

\begin{aligned} F(D) & = 5D^{2}-3D+4 \\ y^{\ast} & = {\color{blue} {1 \over 5D^{2}-3D+4} } 5 {\color{red} e^{0x} } \\ & = {1 \over 4} \end{aligned}

小结

$\displaystyle{ F \left( D \right) }$ 取倒数， $y^{\ast}={1 \over F(D)} f(x)$
令 $\displaystyle{ D = k }$ ，求出 $y^{\ast}$
若 $\displaystyle{ D = k }$ 时 $\displaystyle{ F \left( D \right) = 0 }$ ，则前乘 $\displaystyle{ x }$ ，算子求导

3.2. $\displaystyle{ f \left( x \right) }$ 形如 $\sin \alpha x$ 或 $\cos \alpha x$

根据欧拉公式

e^{ {\rm i} x } = \cos x + \sin {\rm i} x

将三角函数翻译为 $\displaystyle{ e }$ 为底的指数函数，即 $\sin \alpha x \Rightarrow e^{ {\rm i} \alpha x}$ ，则 $k={\rm i} \alpha$

2y''-3y=\sin 3x

\begin{aligned} F(D) & = 2D^{2} - 3 \\ y^{\ast} & = {\color{blue} {1 \over 2D^{2} - 3 } } \sin 3x \\ & = {\color{blue} {1 \over 2({\rm 3 i})^{2} - 3 } } \sin 3x \\ & = - {1 \over 21} \sin 3x \end{aligned}

y''+4y=\cos 2x

\begin{aligned} F(D) & = D^{2}+ 4 \\ y^{\ast} & = {\color{blue} { 1 \over D^{2}+ 4 } } \cos 2x \\ & = {\color{red} { 1 \over ({\rm 2 i})^{2}+ 4 } } \cos 2x \end{aligned}

此时，分母为 0，不能继续运算。根据上一节中，前乘 $\displaystyle{ x }$ ，算子求导的法则，有

\begin{aligned} y^{\ast} & = {\color{blue} { 1 \over D^{2}+ 4 } } \cos 2x \\ & = x {\color{blue} { 1 \over 2 D } } \cos 2x \\ & = x {\color{red} { 1 \over 4 {\rm i} } } \cos 2x \end{aligned}

但此时直接将 $\rm i$ 代入会得到分母为复数，不符合实际情况。回想起， $1 \over D$ 的含义是积分，因此直接将 $1 \over D$ 作用于 $\cos 2x$

\begin{aligned} y^{\ast} & = {\color{blue} { 1 \over D^{2}+ 4 } } \cos 2x \\ & = x {\color{blue} { 1 \over 2 D } } \cos 2x \\ & = { x \over 2} {\color{blue} { 1 \over D } } \cos 2x \\ & = {1 \over 4} \sin 2x \end{aligned}

y''+3y'-2y=\sin 3x

\begin{aligned} F(D) & = D^{2} + 3D - 2 \\ y^{\ast} & = { \color{blue} {1 \over D^{2} + 3D - 2} } \sin 3x \\ \end{aligned}

首先，能代则代，即将 $k=3 {\rm i}$ 代入 $\displaystyle{ D ^{ \left\lbrace 2 \right\rbrace } }$

\begin{aligned} y^{\ast} & = { \color{blue} {1 \over D^{2} + 3D - 2} } \sin 3x \\ & = { \color{blue} {1 \over 3D - 11} } \sin 3x \\ \end{aligned}

接着，对分母进行 “有理化”

\begin{aligned} y^{\ast} & = { \color{blue} {1 \over 3D - 11} } \sin 3x \\ & = {\color{blue} { 3 D + 11 \over 9D^{2}- 121} } \sin 3x \\ & = - {1 \over 202} {\color{blue}(3 D + 11) } \sin 3x \\ & = - {1 \over 202} ( {\color{blue} 3D} \sin 3x + 11 \sin 3x ) \\ & = - {1 \over 202} ( 9 \cos 3x + 11 \sin 3x ) \end{aligned}

小结

将 $\sin \alpha x$ 和 $\cos \alpha x$ 翻译为 $e^{ {\rm i} \alpha x}$ ，之后用上一讲的方法
若 $\displaystyle{ F \left( D \right) = 0 }$ ，同样采用前乘 $\displaystyle{ x }$ ，算子求导的方法
分母上有 $\displaystyle{ D }$ 的一次项，凑出平方项后代入

3.3. $\displaystyle{ f \left( x \right) }$ 形如 $\displaystyle{ P _{ \left\lbrace n \right\rbrace } \left( x \right) }$

\displaystyle{ y ^{\prime\prime} - 3 y ^{\prime} + 2 y = 2 x ^{ \left\lbrace 2 \right\rbrace } - 3 x + 1 }

\begin{aligned} F(D) & = D^{2} - 3D + 2 \\ y^{\ast} & = {\color{blue} {1 \over D^{2} - 3D + 2 } } (2x^2-3x+1) \end{aligned}

把 $\displaystyle{ F \left( D \right) }$ 按照升幂排列 $\displaystyle{ 2 - 3 D + D ^{ \left\lbrace 2 \right\rbrace } }$
以 1 为被除数， $\displaystyle{ F \left( D \right) }$ $F (D)$ 为除数，作竖式除法
- 基本原则：消去首项，商到商式中出现 $\displaystyle{ f \left( x \right) }$ 最高次幂为止

               1/2 + 3/4 D + 7/8 D^2
             -------------------------
2 - 3D + D^2 ) 1
               1   - 3/2 D + 1/2 D^2
             -------------------------
                     3/2 D - 1/2 D^2
                     3/2 D - 9/4 D^2 + 3/4 D^3
                   ----------------------------
                             7/4 D^2 - 3/4 D^3

               1/2 + 3/4 D + 7/8 D^2
             -------------------------
2 - 3D + D^2 ) 1
               1   - 3/2 D + 1/2 D^2
             -------------------------
                     3/2 D - 1/2 D^2
                     3/2 D - 9/4 D^2 + 3/4 D^3
                   ----------------------------
                             7/4 D^2 - 3/4 D^3

将 $\displaystyle{ D }$ 作为求导运算

\begin{aligned} y^{\ast} & = { \color{blue} \left( {1 \over 2} + {3 \over 4} D + {7 \over 8 } D^{2} \right) } (2x^{2} - 3x + 1) \\ & = x^{2} + {3 \over 2} x + {7 \over 4} \end{aligned}

\displaystyle{ y ^{\prime\prime} - 3 y ^{\prime} = x ^{ \left\lbrace 2 \right\rbrace } - 3 }

\begin{aligned} F(D) & = D^{2} - 3D \end{aligned}

若 $\displaystyle{ F \left( D \right) }$ 中有公因式，则必须提出 $\displaystyle{ D }$ 的公因式，再进行计算

\begin{aligned} y^{\ast} & = {\color{blue} {1 \over D } {1 \over D - 3} } (x^{2} - 3) \\ & = {\color{blue} {1 \over D } \left(- {1 \over 3} - {1 \over 9} D - {1 \over 27} D^{2} \right) } (x^{2} - 3) \\ & = {\color{blue} {1 \over D } } \left(- {1 \over 3} x^{2} - {2 \over 9} x + {25 \over 27} \right) \\ & = - {1 \over 9} x^{3} - {1 \over 9} x^{2} + {25 \over 27 } x \end{aligned}

小结

多项式除法算 $1 \over F(D)$
$\displaystyle{ F \left( D \right) }$ 中有 $\displaystyle{ D }$ 的因式，必须先提取，再运算

3.4. 三种复合形式的求法

$\displaystyle{ f \left( x \right) }$ 形如 $e^{kx}\sin \alpha x$

逆算子移位公式

{1 \over F(D)} e^{kx} v(x) = { \color{red} e^{kx} } {1 \over F({\color{blue} D+k})} v(x)

y'' + 3y' - 2y = e^{-x} \sin 2x

\begin{aligned} y^{\ast} & = { \color{blue} {1 \over D^{2}+ 3D - 2 } } e^{ {\color{red}-x} } \sin 2x \\ & = {\color{red} e^{-x} } { \color{blue} {1 \over (D - 1)^{2}+ 3(D - 1) - 2 } } \sin 2x \\ & = {\color{red} e^{-x} } { \color{blue} {1 \over D^{2} + D - 4 } } \sin 2x \\ & = e^{-x} { \color{blue} {1 \over D - 8 } } \sin 2x \\ & = e^{-x} { \color{blue} {D+8 \over D^2 - 64 } } \sin 2x \\ & = - {1 \over 68} e^{-x} { \color{blue} (D+4)} \sin 2x \\ & = - {1 \over 34} (\cos 2x + 4 \sin 2x) e^{-x} \end{aligned}

\displaystyle{ y ^{\prime\prime} + 2 y ^{\prime} + y = x e ^{ \left\lbrace x \right\rbrace } }

\begin{aligned} y^{\ast} & = { \color{blue} {1 \over D^{2} + 2D + 1} } xe^{x} \\ & = {\color{red} e^{x} } { \color{blue} {1 \over D^{2} + 4D + 4} } x \\ & = e^{x} {\color{blue} \left( {1 \over 4} - {1 \over 4} D \right)}x \\ & = {1 \over 4} (x - 1) e^{x} \end{aligned}

\displaystyle{ y ^{\prime\prime} - 4 y ^{\prime} + 4 y = 3 x e ^{ \left\lbrace 2 x \right\rbrace } }

\begin{aligned} y^{\ast} & = { \color{blue} {1 \over D^{2} - 4D + 4} }3xe^{2x} \\ & = {\color{red} e^{2x} } {\color{blue} {1 \over D^{2} } } 3x \\ & = {1\over 2} x^{3}e^{2x} \end{aligned}

$\displaystyle{ f \left( x \right) }$ 形如 $P_{n}(x) \sin \alpha x$

一般只需掌握 $\displaystyle{ P _{ \left\lbrace n \right\rbrace } \left( x \right) = x }$ 的情况，有

{1 \over F(D)} x v(x) = \left(x - {F'(D) \over F(D)} \right) {1 \over F(D)} v(x)

y''+y=x \cos 2x

\begin{aligned} y^{\ast} & = { \color{blue} {1 \over D^{2} + 1 } } x \cos 2x \\ & = {\color{red} \left(x - {2D \over D^{2} + 1} \right) } { \color{blue} {1 \over D^{2} + 1 } } \cos 2x \\ & = - {1 \over 3} {\color{red} \left(x - {2D \over D^{2} + 1} \right) } \cos 2x \\ & = - {1 \over 3}x \cos 2x + {1 \over 3} { \color{red} {2D \over D^{2} + 1} }\cos 2x \\ & = - {1 \over 3}x \cos 2x - {2 \over 9} D \cos 2x \\ & = - {1 \over 3}x \cos 2x + {4 \over 9} \sin 2x \\ \end{aligned}

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