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Notes

微分方程

1. 一阶微分方程

1.1. 概念

  • 含有未知数、位置函数的导函数与自变量之间的关系的方程，称为 微分方程
  • 未知函数导函数的最高阶数称为 该微分方程的阶
  • 未知函数是一元函数的微分方程称为 常微分方程
y(n)=f(x,y,y′,⋯ ,y(n−1))y^{(n)} = f\left(x,y,y',\cdots,y^{(n-1)}\right)

设 y=φ(x)y=\varphi(x) 在区间 (a.b)\displaystyle{ \left( a . b \right) } 上连续且有直到 n\displaystyle{ n } 阶的导数，使得

φ(n)(x)≡f(x,φ(x),φ′(x),⋯ ,φ(n−1))\varphi ^{(n)} (x) \equiv f\left(x,\varphi (x), \varphi '(x), \cdots, \varphi ^{(n-1)}\right)

则称 y=φ(x)y=\varphi(x) 为该微分方程在区间 (a,b)\displaystyle{ \left( a , b \right) } 上的一个解

如果含有 n\displaystyle{ n } 个独立的任意常数的函数

y=φ(x,C1,⋯ ,Cn),a<x<by=\varphi(x,C_{1},\cdots,C_{n}),a<x<b

是 n\displaystyle{ n } 阶微分方程的解，则称它为该微分方程的 通解，不含任意常数的解称为 特解，条件

y(x0)=y0y′(x0)=y0′⋯y(n−1)(x0)=y0(n−1)\begin{aligned} y(x_{0}) &=y_{0} \\ y'(x_{0}) &=y_{0}' \\ & \cdots \\ y^{(n-1)}(x_{0})&= y_{0}^{(n-1)} \end{aligned}

称为 n\displaystyle{ n } 阶微分方程的初始条件，其中 y0,y0′,⋯y_{0},y_{0}',\cdots 为 n\displaystyle{ n } 个给定的数，一般，由初始条件确定解中任意常数就得到相应的一个特解

1.2. 几种特殊类型的解法

1.2.1. 可分离变量

dydx=h(x)g(y){ \mathrm{d}y \over \mathrm{d} x } = h(x)g(y)

可化为

dyg(y)=h(x)dx{ \mathrm{d} y \over g(y)} = h(x) \mathrm{d} x

两边积分

∫dyg(y)=∫h(x)dx+C\int { \mathrm{d} y \over g(y)} = \int h(x) \mathrm{d} x + C

其中，C\displaystyle{ C } 为任意常数

1.2.2. 齐次

dydx=f(x,y)(3)\begin{aligned} { \mathrm{d}y \over \mathrm{d} x } = f(x,y) && (3) \end{aligned}

中的 f(x,y)\displaystyle{ f \left( x , y \right) }，若令 y=ux\displaystyle{ y = u x }，当 x≠0x \ne 0 时，可化为

f(x,y)=f(x,ux)=φ(u)f(x,y)=f(x,ux)=\varphi(u)

以新的未知函数 u\displaystyle{ u } 代替 y\displaystyle{ y }，得

u+xdudx=φ(u)u + x { \mathrm{d} u \over \mathrm{d} x} = \varphi(u)

即可分离变量

1.3. 一阶线性微分方程

y′+p(x)y=q(x)\displaystyle{ y ^{\prime} + p \left( x \right) y = q \left( x \right) }

通解是

y=e−∫p(x)dx[∫q(x)e∫p(x)dx+C]y=\mathrm{e}^{-\int p(x) \mathrm{d}x}\left[\int q(x) \mathrm{e} ^{\int p(x) \mathrm{d} x} + C \right]

1.4. 伯努力方程

y′+p(x)y=q(x)yny' + p(x)y = q(x)y^{n}

化为

y−ndydx+p(x)y1−n=q(x)y^{-n} {\mathrm {d} y \over \mathrm{d} x} + p(x) y^{1-n}=q(x)

令 z=y{1−n}\displaystyle{ z = y ^{ \left\lbrace 1 - n \right\rbrace } }，有

dzdx=d(y1−n)dx=(1−n)y−ndydx{\mathrm {d} z \over \mathrm{d} x} = {\mathrm {d} (y^{1-n}) \over \mathrm{d} x} = (1-n)y^{-n} {\mathrm {d} y \over \mathrm{d} x}

得

11−ndzdx+p(x)z=q(x){1 \over 1-n} {\mathrm {d} z \over \mathrm{d} x} + p(x)z = q(x)

代入线性微分方程的通解公式，然后代回 y\displaystyle{ y }，得到原解

1.5. 全微分方程

若存在二元函数 u(x,y)\displaystyle{ u \left( x , y \right) }，使

du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy\mathrm{d} u(x,y) = P(x,y) \mathrm{d} x + Q(x,y) \mathrm{d} y

则称微分方程

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0(4)\begin{aligned} P(x,y) \mathrm{d} x + Q(x,y) \mathrm{d} y = 0 && (4) \end{aligned}

为全微分方程，通解为

u(x,y)=C\displaystyle{ u \left( x , y \right) = C }

由曲线积分中有关的定理，有下述定理

设 D\displaystyle{ D } 为平面上的一个但连通区域，P(x,y)\displaystyle{ P \left( x , y \right) } 与 Q(x,y)\displaystyle{ Q \left( x , y \right) } 在 D\displaystyle{ D } 上连续且有连续的一阶偏导数，则方程 (4) 为全微分方程的充要条件为

∂P∂y=∂Q∂x,(x,y)∈D{\partial P \over \partial y} = { \partial Q \over \partial x}, (x,y) \in D

可以由观察法找 u(x,y)\displaystyle{ u \left( x , y \right) }，或者在路径无关条件下找 u(x,y)\displaystyle{ u \left( x , y \right) }，或者区域 D\displaystyle{ D } 为边平行于坐标轴的矩形条件下，由折线法找 u(x,y)\displaystyle{ u \left( x , y \right) }

2. 二阶及高阶线性微分方程

2.1. 线性微分方程

定义
y(n)+a1(x)y(n−1)+⋯+an−1(x)y′+an(x)y=f(x),f(x)≢0(1)\begin{aligned} y^{(n)} + a_{1}(x)y^{(n-1)} + \cdots + a_{n-1}(x)y'+a_{n}(x)y=f(x),f(x) \not\equiv 0 && (1) \end{aligned}

其中系数 ai(x)a_{i}(x) 为已知函数，称为 n\displaystyle{ n } 阶线性非齐次微分方程，f(x)\displaystyle{ f \left( x \right) } 为自由项，方程

y(n)+a1(x)y(n−1)+⋯+an−1(x)y′+an(x)y=0(2)\begin{aligned} y^{(n)} + a_{1}(x)y^{(n-1)} + \cdots + a_{n-1}(x)y'+a_{n}(x)y=0 && (2) \end{aligned}

为 n\displaystyle{ n } 阶线性齐次微分方程

定义

设 y1(x),⋯ ,ym(x)y_{1}(x), \cdots, y_{m}(x) 是定义在区间 (a,b)\displaystyle{ \left( a , b \right) } 内的 m\displaystyle{ m } 个函数，如果存在不全为零的 m\displaystyle{ m } 个常数 k1,⋯ ,kmk_1,\cdots,k_m，使得

k1y1(x)+⋯kmym(x)≡0(3)\begin{aligned} k_{1}y_{1}(x) + \cdots k_{m}y_{m}(x) \equiv 0 && (3) \end{aligned}

成立，则称这 m\displaystyle{ m } 个函数在该区间内 线性相关，否则称 线性无关

2.2. 线性微分方程解的性质

定理

  1. 设 y∗(x)y^{\ast}(x) 为 (1) 的一个解，Y(x)\displaystyle{ Y \left( x \right) } 为 (1) 所对应的 (2) 的一个解，则 y=Y(x)+y∗(x)y=Y(x)+ y^{\ast}(x) 为 (1) 的解
  2. 设 y1∗(x)y_{1}^{\ast}(x) 与 y2∗(x)y_{2}^{\ast}(x) 为 (1) 的两个解，则 y=y1∗(x)−y2∗(x)y=y_{1}^{\ast}(x)-y_{2}^{\ast}(x) 为 (1) 所对应的 (2) 的解

齐次线性方程的解的叠加

设 y1(x),⋯ ,ym(x)y_{1}(x), \cdots, y_{m}(x) 是齐次线性方程 (2) 的 m\displaystyle{ m } 个解，则他们的线性组合

y=∑i=1mCiyiy=\sum\limits_{i=1}^{m}C_{i}y_{i}

也是 (2) 的解，其中 Ci(i=1,⋯ ,m)C_{i}(i=1,\cdots,m) 为常数

齐次线性方程的通解结构

设 yi(x)(i=1,2,⋯ ,n)y_{i}(x)(i=1,2,\cdots,n) 为 n\displaystyle{ n } 阶齐次线性方程 (2) 的 n\displaystyle{ n } 个线性无关的解，Ci(i=1,2,⋯ ,n)C_{i}(i=1,2,\cdots,n) 为常数，则

y=∑i=1nCiyi(x)y=\sum\limits_{i=1}^{n}C_{i}y_{i}(x)

为 (2) 的解

非其次线性方程的通解结构

设 y∗(x)y^{\ast}(x) 为 (1) 的一个解，Y(x)\displaystyle{ Y \left( x \right) } 为 (1) 对应的 (2) 的通解，则

y=Y(x)+y∗(x)y=Y(x) + y^{\ast}(x)

为 (1) 的通解

自由项为 f(x)=f1(x)+f2(x)f(x)=f_{1}(x)+f_{2}(x) 的解的叠加原理

设 yi∗y_{i}^{\ast} 为

y(n)+a1(x)y(n−1)+⋯+an−1(x)y′+an(x)y=fi(x)y^{(n)}+a_{1}(x)y^{(n-1)} + \cdots + a_{n-1}(x)y' +a_{n}(x)y=f_{i}(x)

的解 (i=1,2)\displaystyle{ \left( i = 1 , 2 \right) }，则 y1∗(x)+y2∗(x)y_{1}^{\ast}(x)+y_{2}^{\ast}(x) 为

y(n)+a1(x)y(n−1)+⋯+an−1(x)y′+an(x)y=f1(x)+f2(x)y^{(n)}+a_{1}(x)y^{(n-1)} + \cdots + a_{n-1}(x)y' +a_{n}(x)y=f_{1}(x) +f_{2}(x)

的解

二阶常系数线性其次方程的通解求法及公式

二阶常系数线性齐次微分方程可写成

y′′+py′+qy=0(4)\begin{aligned} y'' + py'+qy=0 && (4) \end{aligned}

其中，p,q\displaystyle{ p , q } 为常数，方程

r2+pr+q=0(5)\begin{aligned} r^{2}+pr+q=0 && (5) \end{aligned}

为方程 (4) 对应的 特征方程，它的根 r\displaystyle{ r } 称为 特征根。按不同情况，通解如下表

特征方程 r2+pr+q=0r^{2}+pr+q=0 的根微分方程 y′′+py′+qy=0\displaystyle{ y ^{\prime\prime} + p y ^{\prime} + q y = 0 } 的通解
一对不等的实根 r1≠r2r_{1}\ne r_{2}y=C1er1x+C2er2xy=C_{1}e^{r_{1} x}+C_{2}e^{r_{2}x}
一对相等的实根 r1=r2r_{1}=r_{2}y=(C1+C2x)erxy=(C_{1}+ C_{2}x)e^{rx}
一对共轭复根 r1,2=α±βi,β>0r_{1,2}=\alpha \pm \beta i, \beta>0y=eαx(C1cos⁡βx+C2sin⁡βx)y=e^{\alpha x}(C_{1} \cos \beta x + C_{2}\sin \beta x)

由 2 阶推广到 n\displaystyle{ n } 阶

n\displaystyle{ n } 阶常系数线性其次微分方程

y(n)+a1y(n−1)+⋯+an−1y′+any=0y^{(n)} + a_{1}y^{(n-1)} + \cdots + a_{n-1}y' + a_{n}y=0

对应特征方程

rn+a1rn−1+⋯+an−1r+an=0r^{n}+a_{1}r^{n-1}+\cdots+a_{n-1}r+a_{n}=0

关系如下表

特征方程的根微分方程通解中对应的项
单重实根 r\displaystyle{ r }对应一项 CerxCe^{rx}
k\displaystyle{ k } 重实根 r\displaystyle{ r }对应 k\displaystyle{ k } 项 (C1+C2x+⋯Ckxk−1)erx(C_{1}+C_{2}x + \cdots C_{k}x^{k-1})e^{rx}
单重复数根 r1,2=α±βir_{1,2}=\alpha \pm \beta i对应两项 eαx(C1cos⁡βx+C2sin⁡βx)e^{\alpha x}(C_{1}\cos \beta x + C_{2} \sin \beta x)
k\displaystyle{ k } 重复数根 r1,2=α±βir_{1,2}=\alpha \pm \beta i对应 2k\displaystyle{ 2 k } 项 eαx[(A1+A2x+⋯+Akxk−1)cos⁡βx+(B1+B2x+⋯+Bkxk−1)sin⁡βx]e^{\alpha x}[(A_{1}+A_{2}x+\cdots +A_{k}x^{k-1})\cos\beta x +(B_{1}+ B_{2}x+\cdots+B_{k}x^{k-1})\sin \beta x]

某些特殊自由项的二阶常系数线性非齐次微分方程的解法

类型 1
y′′+py′+qy=Pm(x)eαxy'' + py'+qy = P_{m}(x)e^{\alpha x}
  • 求对应齐次方程的通解 Y(x)\displaystyle{ Y \left( x \right) }
  • 求该非其次方程的特解 y∗(x)y^{\ast}(x)
y∗(x)=xkQm(x)eαxy^{\ast}(x) = x^{k}Q_{m}(x)e^{\alpha x}

其中

k={0case a≠λ1 and a≠λ21case a=λ1 xor a=λ22case a=λ1=λ2k= \begin{cases} 0 & \text{case } a \ne \lambda_{1} \text{ and } a \ne \lambda_{2} \\ 1 & \text{case } a = \lambda_{1} \text{ xor } a =\lambda_{2} \\ 2 & \text{case } a = \lambda_{1} = \lambda_{2} \end{cases}
类型 2
y′′+py′+qy=Pm(x)eaxcos⁡bx+Qn(x)eaxsin⁡bx\begin{aligned} y''+py'+qy&=P_{m}(x)e^{ax} \cos bx + Q_{n}(x)e^{ax} \sin bx \end{aligned}
  • 求对应齐次方程的通解 Y(x)\displaystyle{ Y \left( x \right) }
  • 令非齐次微分方程的特解为
y∗(x)=xk(Rl(x)eaxcos⁡bx+Sl(x)eaxsin⁡bx)y^{\ast}(x)=x^{k}\left( R_{l}(x) e^{ax} \cos bx + S_{l}(x) e^{ax} \sin bx \right)

其中

k={0case a±ib is not the characteristic root1case a±ib is a singlet characteristic rootk= \begin{cases} 0 & \text{case } a\pm{\rm i}b \text{ is {\color{red}not} the characteristic root} \\ 1 & \text{case } a\pm{\rm i}b \text{ is a {\color{red}singlet} characteristic root} \end{cases} l=max⁡{m,n}l=\max\{m, n\}

可降阶方程的解法

1. y′′=f(x)\displaystyle{ y ^{\prime\prime} = f \left( x \right) }

做两次积分即可

2. y′′=f(x,y′)\displaystyle{ y ^{\prime\prime} = f \left( x , y ^{\prime} \right) } 缺 y\displaystyle{ y } 型

令 p=y′\displaystyle{ p = y ^{\prime} }，y′′=dpdxy''=\displaystyle{\mathrm {d} p \over \mathrm{d} x}，从而有

dpdx=f(x,p){\mathrm {d} p \over \mathrm{d} x}=f(x,p)

可解得 p=φ(x,C1)p=\varphi(x, C_{1})，原方程的通解为 y=∫φ(x,C1)+C2y=\displaystyle\int \varphi(x,C_{1}) + C_{2}

3. y′′=f(y,y′)\displaystyle{ y ^{\prime\prime} = f \left( y , y ^{\prime} \right) } 缺 x\displaystyle{ x } 型

令 p=y′,y′′=dpdx=dpdy⋅dydx=pdpdyp=y', y''=\displaystyle {\mathrm {d} p \over \mathrm{d} x}={\mathrm {d} p \over \mathrm{d} y} \cdot {\mathrm {d} y \over \mathrm{d} x} = p {\mathrm {d} p \over \mathrm{d} y}，从而有

pdpdy=f(y,p)p {\mathrm {d} p \over \mathrm{d} y}=f(y,p)

解出 p=ψ(y,C1)p=\psi(y,C_{1})，再由 p=dydxp=\displaystyle{\mathrm {d} y \over \mathrm{d} x} 代入，得

∫dyψ(y,C1)=∫dx+C2=x+C2\int {\mathrm {d}y \over \psi(y,C_{1})}=\int \mathrm{d}x+C_{2}= x+C_{2}

做出左边积分，得到原微分方程的解

欧拉方程
x2d2ydx2+a1xdydx+a2y=f(x)x^{2} {\mathrm {d}^{2} y \over \mathrm{d} x^{2} }+a_{1}x {\mathrm {d} y \over \mathrm{d} x} + a_{2}y=f(x)

若 x>0\displaystyle{ x > 0 }，令 x=et\displaystyle{ x = e ^{ t } } 作变量代换，有 t=ln⁡xt=\ln x，从而 dtdx=1x\displaystyle {\mathrm {d} t \over \mathrm{d} x}={1 \over x}

dydx=dydt⋅dtdx=1xdydtd2ydx2=ddx(1xdydt)=−1x2dydt+1xddx(dydt)=−1x2dydt+1xddt(dydt)dtdx=−1x2dydt+1x2d2ydt2\begin{aligned} {\mathrm {d} y \over \mathrm{d} x} & = {\mathrm {d} y \over \mathrm{d} t} \cdot {\mathrm {d} t \over \mathrm{d} x} = {1 \over x} {\mathrm {d} y \over \mathrm{d} t} \\ {\mathrm {d}^{2} y \over \mathrm{d} x^{2} } &= {\mathrm {d} \over \mathrm{d} x} \left( {1 \over x} {\mathrm {d} y \over \mathrm{d} t} \right) = - {1 \over x^{2} } {\mathrm {d} y \over \mathrm{d} t} + {1 \over x} {\mathrm {d} \over \mathrm{d} x} \left( {\mathrm {d} y \over \mathrm{d} t} \right) \\ & = - {1 \over x^{2} } {\mathrm {d} y \over \mathrm{d} t} + {1 \over x}{ \color{red} {\mathrm {d} \over \mathrm{d} t} } \left( {\mathrm {d} y \over \mathrm{d} t} \right) { \color{red} {\mathrm {d} t \over \mathrm{d} x} } \\ & = - {1 \over x^{2} } {\mathrm {d} y \over \mathrm{d} t} + {1 \over x^{2} } {\mathrm {d}^{2} y \over \mathrm{d} t^{2} } \end{aligned}

原方程化为

d2ydt2+(a1−1)dydt+a2y=f(et){\mathrm {d}^{2} y \over \mathrm{d} t^{2} }+ (a_{1} - 1) {\mathrm {d} y \over \mathrm{d} t} +a_{2} y = f(e ^ {t})

是常系数线性微分方程，解答后还原为 x\displaystyle{ x } 即可

而对于 x<0\displaystyle{ x < 0 } 的情况，令 x=−etx=-e^{t} 同理

3. 微分算子法求二阶常系数线性非齐次微分方程

3.1. 概念

微分

y′=dydx=ddxyy'={\mathrm {d} y \over \mathrm{d} x} = {\color{red} {\mathrm {d} \over \mathrm{d} x} } y

算子

D:=ddx{\rm D} := {\mathrm {d} \over \mathrm{d} x}
  • Dx2=2x{\rm D} x^2=2x
  • Dsec⁡x=sec⁡xtan⁡x{\rm D} \sec x = \sec x \tan x

而 1D\displaystyle{1 \over{\rm D} } 代表着微分的逆运算：积分

  • 1Dcos⁡x=sin⁡x\displaystyle{1 \over {\rm D} } \cos x=\sin x
  • 1Dx2=13x3\displaystyle{1 \over {\rm D} } x^{2}={1 \over 3} x^{3}

推导

由 n\displaystyle{ n } 阶的一般式

any(n)+an−1(x)y(n−1)+⋯+a1(x)y′+a0(x)y=f(x)a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)} + \cdots + a_{1}(x)y' +a_{0}(x)y=f(x)

将算子提取

anDny+an−1Dn−1y+⋯+a1Dy+a0y=f(x)a_{n} {\color{blue} {\rm D}^{n} }y+a_{n-1} {\color{blue}{\rm D}^{n-1} }y + \cdots + a_{1}{\color{blue}{\rm D} }y +a_{0}y=f(x)

于是上式有公因子 y\displaystyle{ y }

(anDn+an−1Dn−1+⋯+a1D+a0)y=f(x)(a_{n} {\color{blue} {\rm D}^{n} }+a_{n-1} {\color{blue}{\rm D}^{n-1} } + \cdots + a_{1}{\color{blue}{\rm D} } +a_{0}){\color{red}y}=f(x)

括号内即为关于微分算子 D\rm D 的多项式，即微分算子式

令 F(D)y=f(x)F({\rm D}) y=f(x)，有

y∗=1F(D)f(x)y^{\ast} = {\color{blue}{1 \over F({\rm D})} }f(x)

y∗y^{\ast} 即为 1F(D){1 \over F({\rm D})} 作用于 f(x)\displaystyle{ f \left( x \right) } 的结果

3.2. f(x)\displaystyle{ f \left( x \right) } 形如 ekxe^{kx} 类

3y′′−2y′+5y=e2x3y''-2y'+5y=e^{2x}
F(D)=3D2−2D+5y∗=13D2−2D+5e2x=113e2x\begin{aligned} F({\rm D}) & = 3 {\rm D}^{2}-2{\rm D} + 5 \\ y^{\ast} & = { \color{blue}{ 1 \over 3 {\rm D}^{2}-2{\rm D} + 5} } e^{ {\color{red}2 }x} \\ & = {1 \over 13} e^{2x} \end{aligned}

将 e\displaystyle{ e } 的指数直接代入 D\rm D

y′′+2y′+3y=e{−3x}\displaystyle{ y ^{\prime\prime} + 2 y ^{\prime} + 3 y = e ^{ \left\lbrace - 3 x \right\rbrace } }
F(D)=D2+2D−3y∗=1D2+2D−3e−3x\begin{aligned} F(D) & = D^{2}+2D-3 \\ y^{\ast} &={\color{blue} {1 \over D^{2}+2D-3 } } e^{ {\color{red}-3}x} \end{aligned}

此时，将 D=−3\displaystyle{ D = - 3 } 代入，发现分母上为 0，我们选择放弃代入，前面乘 x\displaystyle{ x }，对算子求一阶导数

y∗=1D2+2D−3e−3x=x12D+2e−3x=−14xe−3x\begin{aligned} y^{\ast} &={\color{blue} {1 \over D^{2}+2D-3 } } e^{ {\color{red}-3}x} \\ & = x {\color{blue} {1 \over 2 D+2 } } e^{ {\color{red}-3}x} \\ & = - {1 \over 4} x e^{-3x} \end{aligned}
y′′′+3y′′+3y′+y=e{−x}\displaystyle{ y ^{\prime\prime\prime} + 3 y ^{\prime\prime} + 3 y ^{\prime} + y = e ^{ \left\lbrace - x \right\rbrace } }
F(D)=D3+3D2+3D+1y∗=1D3+3D2+3D+1e−x=x13D2+6D+3e−x=x216D+6e−x=16x3e−x\begin{aligned} F(D) & = D^{3}+3D^{2}+3D+1 \\ y^{\ast} & = {\color{blue} {1 \over D^{3}+3D^{2}+3D+1} }e^{ {\color{red} -}x} \\ & = x {\color{blue} {1 \over 3D^{2} + 6D + 3} } e^{ {\color{red} -}x} \\ & = x^{2} {\color{blue} {1 \over 6D+6} } e^{ {\color{red} -}x} \\ & = {1 \over 6} x^{3}e^{-x} \end{aligned}
5y′′−3y′+4y=5\displaystyle{ 5 y ^{\prime\prime} - 3 y ^{\prime} + 4 y = 5 }
F(D)=5D2−3D+4y∗=15D2−3D+45e0x=14\begin{aligned} F(D) & = 5D^{2}-3D+4 \\ y^{\ast} & = {\color{blue} {1 \over 5D^{2}-3D+4} } 5 {\color{red} e^{0x} } \\ & = {1 \over 4} \end{aligned}
小结
  1. F(D)\displaystyle{ F \left( D \right) } 取倒数，y∗=1F(D)f(x)y^{\ast}={1 \over F(D)} f(x)
  2. 令 D=k\displaystyle{ D = k }，求出 y∗y^{\ast}
  3. 若 D=k\displaystyle{ D = k } 时 F(D)=0\displaystyle{ F \left( D \right) = 0 }，则前乘 x\displaystyle{ x }，算子求导

3.2. f(x)\displaystyle{ f \left( x \right) } 形如 sin⁡αx\sin \alpha x 或 cos⁡αx\cos \alpha x

根据欧拉公式

eix=cos⁡x+sin⁡ixe^{ {\rm i} x } = \cos x + \sin {\rm i} x

将三角函数翻译为 e\displaystyle{ e } 为底的指数函数，即 sin⁡αx⇒eiαx\sin \alpha x \Rightarrow e^{ {\rm i} \alpha x}，则 k=iαk={\rm i} \alpha

2y′′−3y=sin⁡3x2y''-3y=\sin 3x
F(D)=2D2−3y∗=12D2−3sin⁡3x=12(3i)2−3sin⁡3x=−121sin⁡3x\begin{aligned} F(D) & = 2D^{2} - 3 \\ y^{\ast} & = {\color{blue} {1 \over 2D^{2} - 3 } } \sin 3x \\ & = {\color{blue} {1 \over 2({\rm 3 i})^{2} - 3 } } \sin 3x \\ & = - {1 \over 21} \sin 3x \end{aligned}
y′′+4y=cos⁡2xy''+4y=\cos 2x
F(D)=D2+4y∗=1D2+4cos⁡2x=1(2i)2+4cos⁡2x\begin{aligned} F(D) & = D^{2}+ 4 \\ y^{\ast} & = {\color{blue} { 1 \over D^{2}+ 4 } } \cos 2x \\ & = {\color{red} { 1 \over ({\rm 2 i})^{2}+ 4 } } \cos 2x \end{aligned}

此时，分母为 0，不能继续运算。根据上一节中，前乘 x\displaystyle{ x }，算子求导的法则，有

y∗=1D2+4cos⁡2x=x12Dcos⁡2x=x14icos⁡2x\begin{aligned} y^{\ast} & = {\color{blue} { 1 \over D^{2}+ 4 } } \cos 2x \\ & = x {\color{blue} { 1 \over 2 D } } \cos 2x \\ & = x {\color{red} { 1 \over 4 {\rm i} } } \cos 2x \end{aligned}

但此时直接将 i\rm i 代入会得到分母为复数，不符合实际情况。回想起，1D1 \over D 的含义是 积分，因此直接将 1D1 \over D 作用于 cos⁡2x\cos 2x

y∗=1D2+4cos⁡2x=x12Dcos⁡2x=x21Dcos⁡2x=14sin⁡2x\begin{aligned} y^{\ast} & = {\color{blue} { 1 \over D^{2}+ 4 } } \cos 2x \\ & = x {\color{blue} { 1 \over 2 D } } \cos 2x \\ & = { x \over 2} {\color{blue} { 1 \over D } } \cos 2x \\ & = {1 \over 4} \sin 2x \end{aligned}
y′′+3y′−2y=sin⁡3xy''+3y'-2y=\sin 3x
F(D)=D2+3D−2y∗=1D2+3D−2sin⁡3x\begin{aligned} F(D) & = D^{2} + 3D - 2 \\ y^{\ast} & = { \color{blue} {1 \over D^{2} + 3D - 2} } \sin 3x \\ \end{aligned}

首先，能代则代，即将 k=3ik=3 {\rm i} 代入 D2D^{2}

y∗=1D2+3D−2sin⁡3x=13D−11sin⁡3x\begin{aligned} y^{\ast} & = { \color{blue} {1 \over D^{2} + 3D - 2} } \sin 3x \\ & = { \color{blue} {1 \over 3D - 11} } \sin 3x \\ \end{aligned}

接着，对分母进行 “有理化”

y∗=13D−11sin⁡3x=3D+119D2−121sin⁡3x=−1202(3D+11)sin⁡3x=−1202(3Dsin⁡3x+11sin⁡3x)=−1202(9cos⁡3x+11sin⁡3x)\begin{aligned} y^{\ast} & = { \color{blue} {1 \over 3D - 11} } \sin 3x \\ & = {\color{blue} { 3 D + 11 \over 9D^{2}- 121} } \sin 3x \\ & = - {1 \over 202} {\color{blue}(3 D + 11) } \sin 3x \\ & = - {1 \over 202} ( {\color{blue} 3D} \sin 3x + 11 \sin 3x ) \\ & = - {1 \over 202} ( 9 \cos 3x + 11 \sin 3x ) \end{aligned}
小结
  1. 将 sin⁡αx\sin \alpha x 和 cos⁡αx\cos \alpha x 翻译为 eiαxe^{ {\rm i} \alpha x}，之后用上一讲的方法
  2. 若 F(D)=0\displaystyle{ F \left( D \right) = 0 }，同样采用前乘 x\displaystyle{ x }，算子求导的方法
  3. 分母上有 D\displaystyle{ D } 的一次项，凑出平方项后代入

3.3. f(x)\displaystyle{ f \left( x \right) }形如 Pn(x)P_{n}(x)

y′′−3y′+2y=2x2−3x+1y''-3y'+2y = 2x^{2}-3x + 1
F(D)=D2−3D+2y∗=1D2−3D+2(2x2−3x+1)\begin{aligned} F(D) & = D^{2} - 3D + 2 \\ y^{\ast} & = {\color{blue} {1 \over D^{2} - 3D + 2 } } (2x^2-3x+1) \end{aligned}
  1. 把 F(D)\displaystyle{ F \left( D \right) } 按照升幂排列 2−3D+D22 - 3D + D^{2}
  2. 以 1 为被除数，F(D)\displaystyle{ F \left( D \right) } 为除数，作竖式除法
    • 基本原则：消去首项，商到商式中出现 f(x)\displaystyle{ f \left( x \right) } 最高次幂为止
               1/2 + 3/4 D + 7/8 D^2
             -------------------------
2 - 3D + D^2 ) 1
               1   - 3/2 D + 1/2 D^2
             -------------------------
                     3/2 D - 1/2 D^2
                     3/2 D - 9/4 D^2 + 3/4 D^3
                   ----------------------------
                             7/4 D^2 - 3/4 D^3

将 D\displaystyle{ D } 作为求导运算

y∗=(12+34D+78D2)(2x2−3x+1)=x2+32x+74\begin{aligned} y^{\ast} & = { \color{blue} \left( {1 \over 2} + {3 \over 4} D + {7 \over 8 } D^{2} \right) } (2x^{2} - 3x + 1) \\ & = x^{2} + {3 \over 2} x + {7 \over 4} \end{aligned}
y′′−3y′=x2−3y'' - 3y' = x^{2}- 3
F(D)=D2−3D\begin{aligned} F(D) & = D^{2} - 3D \end{aligned}

若 F(D)\displaystyle{ F \left( D \right) } 中有公因式，则必须提出 D\displaystyle{ D } 的公因式，再进行计算

y∗=1D1D−3(x2−3)=1D(−13−19D−127D2)(x2−3)=1D(−13x2−29x+2527)=−19x3−19x2+2527x\begin{aligned} y^{\ast} & = {\color{blue} {1 \over D } {1 \over D - 3} } (x^{2} - 3) \\ & = {\color{blue} {1 \over D } \left(- {1 \over 3} - {1 \over 9} D - {1 \over 27} D^{2} \right) } (x^{2} - 3) \\ & = {\color{blue} {1 \over D } } \left(- {1 \over 3} x^{2} - {2 \over 9} x + {25 \over 27} \right) \\ & = - {1 \over 9} x^{3} - {1 \over 9} x^{2} + {25 \over 27 } x \end{aligned}
小结
  1. 多项式除法算 1F(D)1 \over F(D)
  2. F(D)\displaystyle{ F \left( D \right) } 中有 D\displaystyle{ D } 的因式，必须先提取，再运算

3.4. 三种复合形式的求法

f(x)\displaystyle{ f \left( x \right) } 形如 ekxsin⁡αxe^{kx}\sin \alpha x

逆算子移位公式

1F(D)ekxv(x)=ekx1F(D+k)v(x){1 \over F(D)} e^{kx} v(x) = { \color{red} e^{kx} } {1 \over F({\color{blue} D+k})} v(x)
y′′+3y′−2y=e−xsin⁡2xy'' + 3y' - 2y = e^{-x} \sin 2x
y∗=1D2+3D−2e−xsin⁡2x=e−x1(D−1)2+3(D−1)−2sin⁡2x=e−x1D2+D−4sin⁡2x=e−x1D−8sin⁡2x=e−xD+8D2−64sin⁡2x=−168e−x(D+4)sin⁡2x=−134(cos⁡2x+4sin⁡2x)e−x\begin{aligned} y^{\ast} & = { \color{blue} {1 \over D^{2}+ 3D - 2 } } e^{ {\color{red}-x} } \sin 2x \\ & = {\color{red} e^{-x} } { \color{blue} {1 \over (D - 1)^{2}+ 3(D - 1) - 2 } } \sin 2x \\ & = {\color{red} e^{-x} } { \color{blue} {1 \over D^{2} + D - 4 } } \sin 2x \\ & = e^{-x} { \color{blue} {1 \over D - 8 } } \sin 2x \\ & = e^{-x} { \color{blue} {D+8 \over D^2 - 64 } } \sin 2x \\ & = - {1 \over 68} e^{-x} { \color{blue} (D+4)} \sin 2x \\ & = - {1 \over 34} (\cos 2x + 4 \sin 2x) e^{-x} \end{aligned}
y′′+2y′+y=xexy'' + 2y' + y = xe^{x}
y∗=1D2+2D+1xex=ex1D2+4D+4x=ex(14−14D)x=14(x−1)ex\begin{aligned} y^{\ast} & = { \color{blue} {1 \over D^{2} + 2D + 1} } xe^{x} \\ & = {\color{red} e^{x} } { \color{blue} {1 \over D^{2} + 4D + 4} } x \\ & = e^{x} {\color{blue} \left( {1 \over 4} - {1 \over 4} D \right)}x \\ & = {1 \over 4} (x - 1) e^{x} \end{aligned}
y′′−4y′+4y=3xe2xy'' - 4y' + 4y = 3xe^{2x}
y∗=1D2−4D+43xe2x=e2x1D23x=12x3e2x\begin{aligned} y^{\ast} & = { \color{blue} {1 \over D^{2} - 4D + 4} }3xe^{2x} \\ & = {\color{red} e^{2x} } {\color{blue} {1 \over D^{2} } } 3x \\ & = {1\over 2} x^{3}e^{2x} \end{aligned}

f(x)\displaystyle{ f \left( x \right) } 形如 Pn(x)sin⁡αxP_{n}(x) \sin \alpha x

一般只需掌握 Pn(x)=xP_{n}(x)=x 的情况，有

1F(D)xv(x)=(x−F′(D)F(D))1F(D)v(x){1 \over F(D)} x v(x) = \left(x - {F'(D) \over F(D)} \right) {1 \over F(D)} v(x)
y′′+y=xcos⁡2xy''+y=x \cos 2x
y∗=1D2+1xcos⁡2x=(x−2DD2+1)1D2+1cos⁡2x=−13(x−2DD2+1)cos⁡2x=−13xcos⁡2x+132DD2+1cos⁡2x=−13xcos⁡2x−29Dcos⁡2x=−13xcos⁡2x+49sin⁡2x\begin{aligned} y^{\ast} & = { \color{blue} {1 \over D^{2} + 1 } } x \cos 2x \\ & = {\color{red} \left(x - {2D \over D^{2} + 1} \right) } { \color{blue} {1 \over D^{2} + 1 } } \cos 2x \\ & = - {1 \over 3} {\color{red} \left(x - {2D \over D^{2} + 1} \right) } \cos 2x \\ & = - {1 \over 3}x \cos 2x + {1 \over 3} { \color{red} {2D \over D^{2} + 1} }\cos 2x \\ & = - {1 \over 3}x \cos 2x - {2 \over 9} D \cos 2x \\ & = - {1 \over 3}x \cos 2x + {4 \over 9} \sin 2x \\ \end{aligned}