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Notes

泰勒公式

泰勒公式

f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+⋯+f(n)(x0)n!(x−x0)n+Rn(x)f(x) = f(x_{0}) + f'(x_{0})(x-x_{0}) + {f''(x_{0}) \over 2!}(x-x_{0})^{2} + \cdots + {f^{(n)}(x_{0}) \over n!} (x-x_{0})^{n} + R_{n}(x)

余项（即误差）

Rn=f(n+1)(ξ)(n+1)!(x−x0)n+1R_{n} = {f^{(n+1)}(\xi) \over (n+1)!}(x-x_{0})^{n+1}

ξ\xi 介于 x0\displaystyle{ x _{ 0 } } 和 x\displaystyle{ x } 之间。

麦克劳林公式

是泰勒公式的一种特殊情况，即 x{0}=0\displaystyle{ x _{ \left\lbrace 0 \right\rbrace } = 0 }

f(x)=f(0)+f′(0)x+f′′(0)2!x2+⋯+f(n)(0)n!xn+Rn(x)f(x) = f(0) + f'(0)x + {f''(0) \over 2!}x^{2} + \cdots + {f^{(n)}(0) \over n!} x^{n} + R_{n}(x)

误差 ∣R{n}(x)∣\displaystyle{ \left| R _{ \left\lbrace n \right\rbrace } \left( x \right) \right| } 是当 x→0x \to 0 时比 xn\displaystyle{ x ^{ n } } 高阶的无穷小。

皮亚诺余项

R{n}(x)=o(x{n})\displaystyle{ R _{ \left\lbrace n \right\rbrace } \left( x \right) = o \left( x ^{ \left\lbrace n \right\rbrace } \right) }

拉格朗日余项

Rn=f(n+1)(θx)(n+1)!xn+1R_{n} = {f^{(n+1)}(\theta x) \over (n+1)!} x^{n+1}

f{(n+1)}\displaystyle{ f ^{ \left\lbrace \left( n + 1 \right) \right\rbrace } } 是 f\displaystyle{ f } 的 n+1\displaystyle{ n + 1 } 阶导数，θ∈(0,1)\theta \in (0,1)

常见初等函数带皮亚诺余项的麦克劳林公式

ex=1+x+12!x2+13!x3+⋯+1n!xn+o(xn)cos⁡x=1−12!x2+14!x4−⋯+(−1)n(2n)!x2n+o(x2n)sin⁡x=x−13!x3+15!x5−⋯+(−1)n−1(2n−1)!x2n−1+o(x2n−1)ln⁡(1+x)=x−12x2+13x3−⋯+(−1)n−1nxn+o(xn)(1+x)α=1+αx+α(α−1)2!x2+⋯+α(α−1)⋯(α−n+1)n!xn+o(xn)tan⁡x=x+13x3+215x5+⋯ ,x∈(−π2,π2)\begin{aligned} e^{x} & = 1 + x + {1 \over 2!} x^{2} + {1 \over 3!} x^{3} + \cdots + {1 \over n!} x^{n} + o(x^{n}) \\ \cos x & = 1 - {1 \over 2!} x^{2} + {1 \over 4!} x^{4} - \cdots + {(-1)^{n} \over (2n)!}x^{2n} + o(x^{2n}) \\ \sin x & = x - {1 \over 3!} x^{3} + {1 \over 5!} x^{5} - \cdots + {(-1)^{n-1} \over (2n-1)!}x^{2n-1} + o(x^{2n-1}) \\ \ln(1+x) & = x - {1\over 2} x^{2} + {1 \over 3} x^{3} - \cdots + {(-1)^{n-1} \over n} x^{n} + o(x^{n}) \\ (1+x)^{\alpha} & = 1 + \alpha x + {\alpha (\alpha - 1) \over 2!} x^{2} + \cdots + {\alpha (\alpha - 1) \cdots (\alpha -n + 1) \over n!} x^{n} + o(x^{n}) \\ \tan x & = x + {1 \over 3} x^{3} + {2 \over 15} x^{5}+ \cdots, x \in \left( -{\pi \over 2}, {\pi \over 2} \right) \end{aligned}

中值定理

罗尔定理

f(x)\displaystyle{ f \left( x \right) } 在 [a,b]\displaystyle{ \left[ a , b \right] } 连续，在 (a,b)\displaystyle{ \left( a , b \right) } 可导，f(a)=f(b)\displaystyle{ f \left( a \right) = f \left( b \right) }，则 ∃ξ∈(a,b)\exists \xi \in (a,b)，使得 f′(ξ)=0f'(\xi) = 0

拉格朗日中值定理

f(x)\displaystyle{ f \left( x \right) } 在 [a,b]\displaystyle{ \left[ a , b \right] } 连续，在 (a,b)\displaystyle{ \left( a , b \right) } 可导，则 ∃ξ∈(a,b)\exists \xi \in (a,b)，使得

f(b)−f(a)b−a=f′(ξ){f(b) - f(a) \over b - a} = f'(\xi)

也可写作

f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)f(b)-f(a) = f'(\xi) (b-a)

柯西中值定理

f(x),g(x)\displaystyle{ f \left( x \right) , g \left( x \right) } 在 [a,b]\displaystyle{ \left[ a , b \right] } 连续，在 (a,b)\displaystyle{ \left( a , b \right) } 可导，对任意 x∈(a,b)x \in (a,b)，g(x)≠0g(x) \ne 0，则至少存在一点 ξ∈(a,b)\xi \in (a,b)，使得

f(b)−f(a)g(b)−g(a)=f′(ξ)g′(ξ){f(b) - f(a) \over g(b) - g(a)} = {f'(\xi) \over g'(\xi)}

积分中值定理

f(x)\displaystyle{ f \left( x \right) } 在 [a,b]\displaystyle{ \left[ a , b \right] } 上连续，则至少存在一点 ξ∈[a,b]\xi \in [a,b]，使得

∫abf(x)dx=f(ξ)(b−a)\int _a^b f(x) \mathrm{d} x = f(\xi) (b-a)