向量
向量的秩 矩阵的秩
矩阵的秩
定义
在 m×n 的矩阵 A 中,任取 k 行与 k 列,位于这些行与列的交叉点上的 k2 个元素按其在原来矩阵 A 中的次序可构成一个 k 阶行列式,称其为矩阵 A 的一个 k 阶子式
定义
设 A 是 m×n 矩阵,若 A 中存在 r 阶子式不等于 0,r 阶以上子式均等于 0,则称矩阵 A 的秩为 r,记为 r(A),零矩阵的秩规定为 0.
若 A 是 n 阶矩阵
- r(A)=n⇔∣A∣=0
- r(A)<n⇔∣A∣=0
若 A 是 m×n 矩阵,则 r(A)⩽min(m,n)
公式
- r(A)=r(AT)
- r(ATA)=r(A)
- k=0,r(kA)=r(A)
- r(A+B)⩽r(A)+r(B)
- r(AB)⩽min(r(A),r(B))
- max(r(A),r(B))⩽r(A+B)⩽r(A)+r(B)
- A 可逆,则 r(AB)=r(B),r(BA)=r(B)
- 若 Am×n,Bn×s,AB=O,则 r(AB)⩽n
- An×n,Bn×n,AB=O,则 r(A)+r(B)⩽n
r(A∗)=⎩⎨⎧n,1,0,r(A)=nr(A)=n−1r(A)<n−1
正交规范化 正交矩阵
内积
定义
设有 n 维向量 α=(a1,a2,⋯,an)T,β=(b1,b2,⋯,bn)T,内积为
(α,β)=αTβ=i=1∑naibi
- 正定性:(α,α)⩾0,等号成立当且仅当 α=0
- 对称性
- 线性性
定义
两个向量 α,β 夹角的余弦
cos(α,β)=∣α∣∣β∣(α,β)
当 (α,β)=0 时,α,β 正交
Schmidt 正交化
设向量组 α1,α2,α3 线性无关,则正交化方法
β1β2β3=α1=α2−(β1,β1)(α2,β1)β1=α3−(β1,β1)(α3,β1)β1−(β2,β2)(α3,β2)β2
β1,β2,β3 为正交向量组。将它们单位化,即可得到标准正交向量组 η1,η2,η3,有
{01i=ji=j
正交矩阵
设
A 为
n 阶矩阵,若
AAT=ATA=E,则称
A 为正交矩阵
A 是正交矩阵 ⇔AT=A−1
特征向量与特征值
相似矩阵
设
A,B 都是
n 阶矩阵,若存在可逆矩阵
P 使得
P−1AP=B 则称
A∼B
若 A∼Λ,其中 Λ 是对角阵,则称 A 可以相似对角化,Λ 是 A 的相似标准形
A∼B 可以推出
- 特征多项式相同,即 ∣λE−A∣=∣λE−B∣
- A,B 有相同的特征值
- r(A)=r(B)
- ∣A∣=∣B∣=i=1∏nλi
- i=1∑naii=i=1∑nbii=i=1∑nλi
- An∼Bn,A−1∼B−1
- A+kE∼B+kE
n 阶方阵可相似对角化的 充要条件 是它有 n 个线性无关的特征向量
求可逆矩阵
P 使
P−1AP=Λ 解题步骤
- 求出 A 的特征值 λi
- 求出线性无关的特征向量 αi
- 构造矩阵 P=(α1,α2,⋯,αn),则有 P−1AP=Λ=diag(λi,λ2,⋯,λn)
实对称矩阵
- 必可相似对角化
- 属于不同特征值对应的特征向量相互正交
- 若 A 为 n 阶实对称,则必存在正交阵 Q,使得 Q−1AQ=QTAQ=Λ
实对称矩阵用正交矩阵相似对角化解题步骤
- 求特征值
- 求对应的特征向量
- 改造特征向量
- 特征值不同,特征向量已正交,只需单位化
- 特征值有重根,先判断特征向量是否正交
- 把上述变换后的特征向量构成正交矩阵
二次型
二次型及其标准型
令 a{ij}=a{ji},i<j,则 2a{ij}x{i}x{j}=a{ij}x{i}x{j}+a{ji}x{j}x{i},可以把二次型写为矩阵形式
f(x1,x2,⋯,xn)=i=1∑nj=1∑naijxixj=[x1,x2,⋯,xn]a11a11⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮annx1x2⋮xn=xTAx
其中 A 为对称矩阵,称为二次型 f 的对应矩阵
若二次型
f(x1,x2,⋯,xn) 只有平方项,没有混合项,则称二次型为
标准形
f(x1,x2,⋯,xn)=xTAx=a1x12+a2x22+⋯+anxn2
在二次型的标准形中,若平方项系数
a{i} 只是
−1,1,0,则称为二次型的
规范型
f(x1,x2,⋯,xn)=xTAx=x12+x22+⋯+xp2−xp+12−⋯−xp+q2
- 正平方项个数 p 称为正惯性指数
- 负平方项个数 q 称为负惯性指数
合同
设 A,B 是两个 n 阶方阵,若存在可逆阵 C 使得 CTAC=B,则称 A≃B
充要条件:秩和正负惯性指数相同
对于三元二次型 f(x1,x2,x3)=xTAx,如果
⎩⎨⎧x1=c11y1+c12y2+c13y3x2=c21y1+c22y2+c32y3x3=c31y1+c32y2+c33y3
满足 ∣C∣=0,则称上方程组是由 x 到 y 的坐标变换,即 x=Cy
对任意一个
n 元二次型
f=xTAx,必存在正交变换
x=Qy,其中
Q 是正交阵,化二次型为标准型
f(x1,x2,⋯,xn)=xTAxx=QyyTQTAQy=λ1y12+λ2y22+⋯+λnyn2
用矩阵语言表述
对任意一个实对称阵 A,必存在正交阵 Q,使得
Q−1AQ=QTAQ=Λ
A 必相似又合同于对角阵 Λ
等价、合同、相似的关系
从左到右,矩阵的关系越发亲密
graph LR
a["等价
秩相等"] --> b["合同
秩和正负惯性指数相等"]
b --> c["相似
秩、正负惯性指数
和特征值均相等"]
%%{init: {'theme':'dark'}}%%
graph LR
a["等价
秩相等"] --> b["合同
秩和正负惯性指数相等"]
b --> c["相似
秩、正负惯性指数
和特征值均相等"]
正定二次型
正定
若对于任意的非零向量 x=(x1,x2,⋯,xn)T,恒有
f(x1,x2,⋯,xn)=xTAx>0则称二次型 f 为正定二次型,对应矩阵称为正定矩阵
性质
∀x=0,f>0
可逆线性变换不改变二次型的正定性
f=xTAx 正定的充要条件
- A 的正惯性指数 p=n
- A≃E,即存在可逆矩阵 C,使得 CTAC=E
- A=DTD,其中 D 可逆
- A 的全部特征值大于 0
- A 的全部顺序主子式大于零
f=xTAx 正定的必要条件
- A 的主对角线元素 a{ii}>0
- ∣A∣>0